Biết rằng xác suất để một mạch điện do một nhà máy sản xuất có tuổi thọ lớn hơn $ t $ năm là $ e ^ { -0,2t } $ với $ t\geq 0 $.
a) Nhà sản xuất muốn mạch điện bán ra không quá $ 10\% $ sản phẩm phải bảo hành. Khi đó nhà sản xuất cần đưa ra thời gian bảo hành của mạch điện này tối đa là bao lâu (làm tròn kết quả đến tháng)?
b) Biết rằng sau 4 năm mạch điện vẫn hoạt động bình thường. Tính xác suất để mạch điện đó có tuổi thọ trên 6 năm.
c) Nếu một máy sản xuất sử dụng một hệ mạch gồm hai mạch điện loại này mắc nối tiếp với nhau (hệ mạch chỉ hỏng nếu và chỉ nếu một trong hai mạch hỏng). Tính xác suất để tuổi thọ của hệ mạch không vượt quá 4 năm.

Question

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $ Biết rằng xác suất để một mạch điện do một nhà máy sản xuất có tuổi thọ lớn hơn $ t $ năm là $ e ^ { -0,2t } $ với $ t\geq 0 $. a) Nhà sản xuất muốn mạch điện bán ra không quá $ 10\% $ sản phẩm phải bảo hành. Khi đó nhà sản xuất cần đưa ra thời gian bảo hành của mạch điện này tối đa là bao lâu (làm tròn kết quả đến tháng)? b) Biết rằng sau 4 năm mạch điện vẫn hoạt động bình thường. Tính xác suất để mạch điện đó có tuổi thọ trên 6 năm. c) Nếu một máy sản xuất sử dụng một hệ mạch gồm hai mạch điện loại này mắc nối tiếp với nhau (hệ mạch chỉ hỏng nếu và chỉ nếu một trong hai mạch hỏng). Tính xác suất để tuổi thọ của hệ mạch không vượt quá 4 năm.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Chọn ngẫu nhiên một mạch điện tử của nhà máy sản xuất. Gọi $ A_{ t } $ là biến cố: "Tuổi thọ của mạch điện tử lớn hơn $ t $ năm" $ (t\geq 0) $. a) Ta thấy $ P\left ( { \bar A_{ t } } \right ) $ là xác suất để mạch điện tử có tuổi thọ không vượt quá $ t $ năm, $ P\left ( { \bar A_{ t } } \right )=1-e ^ { -0,2t } $. Ta cần tìm $ t $ để $ P\left ( { \bar A_{ t } } \right )\leq 0,1 $ hay $ 1-e ^ { -0,2t } \leq 0,1\Leftrightarrow t\leq -\frac { 1 } { 0,2 }ln0,9\approx 0,527 $ (năm). Vậy nhà sản xuất cần đưa ra thời gian bảo hành tối đa 6 tháng. b) Ta cần tính $ P\left ( { A_{ 6 } \|A_{ 4 } } \right ) $: Ta thấy $ A_{ 6 } ∩A_{ 4 } =A_{ 6 } $ nên $ P\left ( { A_{ 6 } \|A_{ 4 } } \right )=\frac { P\left ( { A_{ 6 } ∩A_{ 4 } } \right ) } { P\left ( { A_{ 4 } } \right ) }=\frac { P\left ( { A_{ 6 } } \right ) } { P\left ( { A_{ 4 } } \right ) }=\frac { e ^ { -0,2\cdot 6 } } { e ^ { -0,2\cdot 4 } }\approx 0,67 $. c) Gọi $ H $ là biến cố: "Tuổi thọ của hệ mạch không vượt quá 4 năm", $ B $ là biến cố: "Mạch điện tử thứ nhất có tuổi thọ lớn hơn 4 năm", $ C $ là biến cố: "Mạch điện tử thứ hai có tuổi thọ lớn hơn 4 năm". Khi đó ta có $ B,C $ là hai biến cố độc lập, $ P(B)=P(C)=e ^ { -0,2\cdot 4 } =e ^ { -0,8 } $ và $ \bar H=B∩C $. Vì vậy $ P(H)=1-P( \bar H)=1-P(B)P(C)=1-e ^ { -1,6 } \approx 0,798 $

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 2