Để tri ân khách hàng, một cửa hàng tổ chức chương trình quay phiếu giảm giá đối với ba mặt hàng $ 1,2,3 $. Biết rằng các lần quay là độc lập với nhau và ở mỗi lần quay, xác suất quay trúng ba loại phiếu giảm giá là như nhau, đều bằng $ \frac { 1 } { 3 } $. Bác Minh quay 5 lần.
a) Tính xác suất để trong 5 phiếu của bác Minh có ít nhất một phiếu giảm giá mặt hàng 1.
b) Biết trong 5 lần quay có 1 lần bác Minh quay được phiếu giảm giá mặt hàng 1. Tính xác suất để trong 5 phiếu của bác Minh có ít nhất một phiếu giảm giá mặt hàng 2.

Question

1. Xác suất có điều kiện Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu $ Ω $ và hai biến cố $ A,B $. Xác suất của biến cố $ A $ với điểu kiện biến cố $ B $ đã xảy ra được gọi là xác suất của $ A $ với điều kiện $ B $, kí hiệu là $ P(A\|B) $. Nếu $ P(B)>0 $ thì $ P(A\|B) $ được tính như sau: $ P(A\|B)=\frac { P(A∩B) } { P(B) }=\frac { \|A∩B\| } { \|B\| } $ Đồng thời lúc này ta có $ P(A∩B)=P(B)\cdot P(A\|B) $ và $ P( \bar A\|B)=1-P(A\|B) $. 2. Công thức nhân xác suất Với hai biến cố $ A,B $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P(A∩B)=P(A)\cdot P(B\|A)=P(B)\cdot P(A\|B) $ Nếu $ A,B $ là hai biến cố độc lập, trong đó $ 0 < P(B) < 1 $, người ta chứng minh được rằng $ P(A\|B)=P(A\| \bar B)=P(A) $. Điều này cho thấy, khi hai biến cố $ A,B $ độc lập thì việc biến cố $ B $ xảy ra hay không xảy ra không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố $ A $. Với $ k $ biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ bất kì, ta có công thức nhân xác suất sau đây: $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } \|A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 3 } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } \|A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k-1 } } \right ) $ Nếu các biến cố $ A_{ 1 } ,A_{ 2 } ,…,A_{ k } $ đôi một độc lập thì $ P\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } ∩…∩A_{ k } } \right )=P\left ( { A_{ 1 } } \right )\cdot P\left ( { A_{ 2 } } \right )\cdots P\left ( { A_{ k } } \right ) $ 3. Kiến thức bổ sung a) Xác suất theo hình học Xét một phép thử $ T $ có không gian mẫu được biểu diễn là một miền hình học $ Ω $ có số đo $ S(Ω) $ hữu hạn, biến cố $ A $ được biểu diển là một miền hình học $ A⊂Ω $ với số đo $ S(A) $. Số đo của miền hình học có thể là độ dài, diện tích hay thể tích, $ … $ tuỳ thuộc vào miền ta xét trên đường thẳng, mặt phẳng hay trong không gian. Khi đó, xác suất theo nghĩa hình học $ P(A) $ được cho bởi công thức $ P(A)=\frac { S(A) } { S(Ω) } $. Định nghĩa xác suất theo hình học là một sự mở rộng tương ứng của định nghĩa xác suất cổ điển trong trường hợp số khả năng có thể xảy ra của biến cố là vô hạn. b) Công thức Bernoulli Giả sử tiến hành $ n $ phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố $ A $ xảy ra hoặc biến cố $ A $ không xảy ra. Xác suất xảy ra biến cố $ A $ trong mỗi phép thử đều bằng $ p(0\leq p\leq 1) $ và xác suất $ A $ không xảy ra bằng $ 1-p $. Khi đó xác suất để trong $ n $ phép thử độc lập nói trên, biến cố $ A $ xảy ra đúng $ k $ lần, kí hiệu là $ P_{ k } (A) $, được tính theo công thức Bernoulli: $ P_{ k } (A)=C_{ n } ^{ k }\cdot p ^ { k } \cdot (1-p) ^ { n-k } $ Để tri ân khách hàng, một cửa hàng tổ chức chương trình quay phiếu giảm giá đối với ba mặt hàng $ 1,2,3 $. Biết rằng các lần quay là độc lập với nhau và ở mỗi lần quay, xác suất quay trúng ba loại phiếu giảm giá là như nhau, đều bằng $ \frac { 1 } { 3 } $. Bác Minh quay 5 lần. a) Tính xác suất để trong 5 phiếu của bác Minh có ít nhất một phiếu giảm giá mặt hàng 1. b) Biết trong 5 lần quay có 1 lần bác Minh quay được phiếu giảm giá mặt hàng 1. Tính xác suất để trong 5 phiếu của bác Minh có ít nhất một phiếu giảm giá mặt hàng 2.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $ A_{ i } $ là biến cố: "Ít nhất có một phiếu giảm giá mặt hạng $ i $ trong 5 phiếu quay được" ( $ i=1,2,3 $). a) Ta có $ \bar A_{ 1 } $: "Không có phiếu giảm giá mặt hàng 1 trong 5 phiếu quay được". Do các lần quay là độc lập và mỗi lần quay xác suất để không được phiếu giảm giá mặt hàng 1 là $ \frac { 2 } { 3 } $, nên ta có $ P\left ( { A_{ 1 } } \right )=1-P\left ( { \bar A_{ 1 } } \right )=1-\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { 5 } =\frac { 211 } { 243 }\approx 0,868 $. b) Gọi $ H $ là biến cố: "Trong 5 lần quay có đúng một lần bác Minh quay được phiếu giảm giá mặt hàng 1". Ta cần tính $ P(A_{2}\|H) $. Ta có $ P(H)=C_{5}^{1}\cdot\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{80}{243} $. Biến cố $ \bar A_{2}∩H $ xảy ra khi có đúng một phiếu giảm giá mặt hàng 1 và bốn phiếu còn lại đều là phiếu giảm giá mặt hàng 3, nên $ P(\bar A_{2}∩H)=C_{5}^{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{5}=\frac{5}{243} $. Vì vậy $ P(A_{2}\|H)=1-P(\bar A_{2}\|H)=1-\frac{5/243}{80/243}=\frac{15}{16} $.

Bài tập nâng cao Xác suất có điều kiện · Bài 3