Bài tập nâng cao · Bài 31
Dạng 3. Phương trình tiếp tuyến – phương tích
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 31
Cho đường tròn $(C):(x-2)^2+(y-1)^2=5$ và điểm $M(3;-2)$. Gọi $M_1$, $M_2$ lần lượt là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến đường tròn $(C)$; Hãy viết phương trình của đường thẳng $M_1M_2$
Xem lời giải
Lời giải
$(C):(x-2)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\text{Tâm }I(2;1)\\R=\sqrt5\end{array}\right.$
Gọi $\overrightarrow n=(a;b)$ là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến cần tìm $(a^2+b^2>0)$
Phương trình tiếp tuyến: $(\Delta):a(x-3)+b(y+2)=0\Leftrightarrow(\Delta):ax+by-3a+2b=0$
$(\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|2a+b-3a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt5\Leftrightarrow|3b-a|=\sqrt5\cdot\sqrt{a^2+b^2}$
$9b^2-6ab+a^2=5(a^2+b^2)\Leftrightarrow2a^2+3ab-2b^2=0\Leftrightarrow(a+2b)(2a-b)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-2b\\b=2a\end{array}\right.$
TH1: $a=-2b$ chọn $a=2;b=-1$
$(\Delta):2x-y-8=0\Leftrightarrow y=2x-8$
Tìm tọa độ tiếp điểm $M_1$ của tiếp tuyến và đường tròn
$(x-2)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow(x-2)^2+(2x-9)^2=5\Leftrightarrow5x^2-40x+80=0\Leftrightarrow x=4\Rightarrow y=0\Rightarrow M_1(4;0)$
TH2: $b=2a$ chọn $a=1;b=2$
$(\Delta):x+2y+1=0\Leftrightarrow x=-2y-1$
Tìm tọa độ tiếp điểm $M_2$ của tiếp tuyến và đường tròn
$(x-2)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow(-2y-3)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow5y^2+10y+5=0\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=1\Rightarrow M_2(1;-1)$
Phương trình của đường thẳng $M_1M_2$
$\overrightarrow u=\overrightarrow{M_1M_2}=(-3;-1)\to\overrightarrow n=(1;-3)\quad(M_1M_2):1(x-1)-3(y+1)=0\Leftrightarrow(M_1M_2):x-3y-4=0$
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm là: $(M_1M_2):x-3y-4=0$
Gọi $\overrightarrow n=(a;b)$ là véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến cần tìm $(a^2+b^2>0)$
Phương trình tiếp tuyến: $(\Delta):a(x-3)+b(y+2)=0\Leftrightarrow(\Delta):ax+by-3a+2b=0$
$(\Delta)$ là tiếp tuyến của $(C)\Leftrightarrow d(I;\Delta)=R\Leftrightarrow\dfrac{|2a+b-3a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt5\Leftrightarrow|3b-a|=\sqrt5\cdot\sqrt{a^2+b^2}$
$9b^2-6ab+a^2=5(a^2+b^2)\Leftrightarrow2a^2+3ab-2b^2=0\Leftrightarrow(a+2b)(2a-b)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=-2b\\b=2a\end{array}\right.$
TH1: $a=-2b$ chọn $a=2;b=-1$
$(\Delta):2x-y-8=0\Leftrightarrow y=2x-8$
Tìm tọa độ tiếp điểm $M_1$ của tiếp tuyến và đường tròn
$(x-2)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow(x-2)^2+(2x-9)^2=5\Leftrightarrow5x^2-40x+80=0\Leftrightarrow x=4\Rightarrow y=0\Rightarrow M_1(4;0)$
TH2: $b=2a$ chọn $a=1;b=2$
$(\Delta):x+2y+1=0\Leftrightarrow x=-2y-1$
Tìm tọa độ tiếp điểm $M_2$ của tiếp tuyến và đường tròn
$(x-2)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow(-2y-3)^2+(y-1)^2=5\Leftrightarrow5y^2+10y+5=0\Leftrightarrow y=-1\Rightarrow x=1\Rightarrow M_2(1;-1)$
Phương trình của đường thẳng $M_1M_2$
$\overrightarrow u=\overrightarrow{M_1M_2}=(-3;-1)\to\overrightarrow n=(1;-3)\quad(M_1M_2):1(x-1)-3(y+1)=0\Leftrightarrow(M_1M_2):x-3y-4=0$
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm là: $(M_1M_2):x-3y-4=0$