Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 32

+) Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và nội tiếp trong đường tròn $(C)$ nên $(C)$ là đường tròn đường kính $BC$ (tâm $I(3;1)$ là trung điểm của $BC$)
+) Đường tròn đường kính $AH$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$ nên $HM\perp AB,HN\perp AC$

+) Ta có
$2\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN})
=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AN}
=\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{MH}+\overrightarrow{HA})+\overrightarrow{AC}\cdot(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HN})
=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AH}
=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AH}
=\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AH}=0$
$\Rightarrow AI\perp MN$ (*)
+) Do đó $AI$ có phương trình: $10x+20y+c=0$
$I\in AI\Rightarrow c=-50\Rightarrow AI:10x+20y-50=0\Leftrightarrow x+2y-5=0\quad(AI)$
$A=AI\cap(C)$ nên tọa độ $A$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}x+2y-5=0\\x^2+y^2-6x-2y+5=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=5\\y=0\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=2\end{array}\right.\end{array}\right.$
$\Rightarrow\left[\begin{array}{l}A(5;0)\\A(1;2)\end{array}\right.$
+) Nếu $A(5;0)$ khi đó $(20x_A-10y_A-9)(20x_I-10y_I-9)>0$ khi đó $A,I$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $MN$ nên không thỏa mãn đề bài.
Vậy $A(1;2)$
Lưu ý: ngoài ra để chứng minh (*) ta có thể làm như sau:
Dựng tiếp tuyến $\Delta$ với đường tròn $(I)$ tại $A$, khi đó $AI\perp\Delta$. Nên để chứng minh $AI\perp MN$ ta đi chứng minh $\Delta\parallel MN$.

Thật vậy
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{A_1}=\widehat C=90^\circ-\widehat{HAC}\\\widehat{M_1}=90^\circ-\widehat{N_1}\\\widehat{HAC}=\widehat{N_1}\end{array}\right.\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\Rightarrow\Delta\parallel MN\Rightarrow AI\perp MN$