Bài tập nâng cao · Bài 1
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 1
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $x^2+y^2+z^2=9$ và điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ thuộc đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\y=1+2t\\z=2-3t\end{array}\right.$. Ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt cùng thuộc mặt cầu sao cho $MA$, $MB$, $MC$ là tiếp tuyến của mặt cầu. Biết rằng mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $D(1;1;2)$. Tổng $T=x_0^2+y_0^2+z_0^2$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2=9$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R_1=3$.
$M\in d\Leftrightarrow M(1+a;1+2a;2-3a)$.
Do $MA$, $MB$, $MC$ là những tiếp tuyến tại $A$, $B$, $C$ với mặt cầu $(S_1)$.
Suy ra $MA^2=MB^2=MC^2=OM^2-9$.
Khi đó $A$, $B$, $C\in(S_2)$ có tâm là $M$, bán kính $R_2=\sqrt{OM^2-9}$.
Ta có phương trình $(S_2):(x-(a+1))^2+(y-(2a+1))^2+(z-(2-3a))^2=OM^2-9$.
$\Leftrightarrow(S_2):x^2+y^2+z^2-2(a+1)x-2(2a+1)y-2(2-3a)z+9=0$.
Mặt khác theo giả thiết $A$, $B$, $C$ cùng thuộc mặt cầu $(S_1)$.
Suy ra tọa độ $A,B,C$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-9=0\\x^2+y^2+z^2-2(a+1)x-2(2a+1)y-2(2-3a)z+9=0\end{array}\right.$.
Do đó phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $2(a+1)x+2(2a+1)y+2(2-3a)z-18=0$.
$D\in(ABC)\Leftrightarrow2(a+1)+2(2a+1)+4(2-3a)-18=0\Leftrightarrow a=-1$.
Với $a=-1$, ta có $M(0;-1;5)$. Khi đó $T=x_0^2+y_0^2+z_0^2=26$.
$M\in d\Leftrightarrow M(1+a;1+2a;2-3a)$.
Do $MA$, $MB$, $MC$ là những tiếp tuyến tại $A$, $B$, $C$ với mặt cầu $(S_1)$.
Suy ra $MA^2=MB^2=MC^2=OM^2-9$.
Khi đó $A$, $B$, $C\in(S_2)$ có tâm là $M$, bán kính $R_2=\sqrt{OM^2-9}$.
Ta có phương trình $(S_2):(x-(a+1))^2+(y-(2a+1))^2+(z-(2-3a))^2=OM^2-9$.
$\Leftrightarrow(S_2):x^2+y^2+z^2-2(a+1)x-2(2a+1)y-2(2-3a)z+9=0$.
Mặt khác theo giả thiết $A$, $B$, $C$ cùng thuộc mặt cầu $(S_1)$.
Suy ra tọa độ $A,B,C$ thỏa mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-9=0\\x^2+y^2+z^2-2(a+1)x-2(2a+1)y-2(2-3a)z+9=0\end{array}\right.$.
Do đó phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là: $2(a+1)x+2(2a+1)y+2(2-3a)z-18=0$.
$D\in(ABC)\Leftrightarrow2(a+1)+2(2a+1)+4(2-3a)-18=0\Leftrightarrow a=-1$.
Với $a=-1$, ta có $M(0;-1;5)$. Khi đó $T=x_0^2+y_0^2+z_0^2=26$.