Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Xét điểm $M(a;b;c)$ với $a

Question

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ và đường thẳng $d:\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z-1}{1}$. Xét điểm $M(a;b;c)$ với $a<0$ thuộc $d$ sao cho từ $M$ kẻ được 3 tiếp tuyến $MA,MB,MC$ đến mặt cầu $(S)$ ($A,B,C$ là các tiếp điểm) thỏa mãn $\widehat{AMB}=60^\circ$, $\widehat{BMC}=90^\circ$, $\widehat{CMA}=120^\circ$. Tổng $a+b+c$ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image92.png] Ta có $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=3\sqrt3$. Đặt $m=AM=BM=CM$. $\widehat{AMB}=60^\circ\Rightarrow AB=m$; $\widehat{BMC}=90^\circ\Rightarrow BC=m\sqrt2$, $\widehat{CMA}=120^\circ\Rightarrow AC=m\sqrt3$ hay $AB\perp BC$. Gọi $H$ là trung điểm của $AC$, $MH=\dfrac12m$ và $BH=\dfrac{m\sqrt3}{2}$ hay tam giác $MBH$ vuông tại $H$. Suy ra $MH\perp(ABC)$ mà $MI\perp(ABC)$ suy ra $MI=MH+HI$. Tam giác $IHA$ vuông tại $H\Rightarrow IH=\sqrt{IA^2-HA^2}=\sqrt{27-\dfrac{3m^2}{4}}$. Tam giác $IAM$ vuông tại $A\Leftrightarrow IM=\sqrt{IA^2+AM^2}=\sqrt{27+m^2}$. Từ $MI=MH+HI\Leftrightarrow\sqrt{27-\dfrac{3m^2}{4}}+\dfrac12m=\sqrt{27+m^2}\Rightarrow m=3\Rightarrow MI=6$. $M\in d\Rightarrow M(-1+t;-2+t;1+t)\Rightarrow\overrightarrow{IM}=(t-2;t-4;t+4)$. $\Rightarrow MI=6\Leftrightarrow\sqrt{(t-2)^2+(t-4)^2+(t+4)^2}=6\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=0\t=\dfrac43\end{array}ight.$. Khi $t=0\Rightarrow M(-1;-2;1)$ (nhận). Khi $t=\dfrac43\Rightarrow M\left(\dfrac13;-\dfrac23;\dfrac73ight)$ (loại). Vậy $a+b+c=-2$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 3