Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 4
Trong không gian với hệ trục $Oxyz$, cho điểm $A(2;-2;2)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z+2)^2=1$. Điểm $M$ di chuyển trên mặt cầu $(S)$ đồng thời thỏa mãn $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AM}=6$. Điểm $M$ luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi điểm $M(x;y;z)\in(S)$ là điểm cần tìm.
Khi đó: $x^2+y^2+(z+2)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4z+4=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-4z-3\quad(1)$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AM}=6\Leftrightarrow x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=6$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6\quad(2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được
$-4z-3-2x+2y-2z-6=0\Leftrightarrow2x-2y+6z+9=0$.
Khi đó: $x^2+y^2+(z+2)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+4z+4=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=-4z-3\quad(1)$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{AM}=(x-2;y+2;z-2)$.
Suy ra $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AM}=6\Leftrightarrow x(x-2)+y(y+2)+z(z-2)=6$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x+2y-2z=6\quad(2)$.
Thay $(1)$ vào $(2)$ ta được
$-4z-3-2x+2y-2z-6=0\Leftrightarrow2x-2y+6z+9=0$.