Bài tập nâng cao · Bài 5
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 5
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1$ và điểm $A(2;2;2)$. Xét các điểm $M$ thuộc $(S)$ sao cho đường thẳng $AM$ luôn tiếp xúc với $(S)$. $M$ luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
$(S)$ có tâm $I(1;1;1)$ và bán kính $R=1$.
Do $IA=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3>R$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.
$\triangle AMI$ vuông tại $M$: $AM=\sqrt{AI^2-IM^2}=\sqrt{3-1}=\sqrt2$.
$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $(S')$ có tâm $A$ bán kính $\sqrt2$.
Ta có phương trình $(S'):(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2$.
Ta có $M\in(S)\cap(S')$.
Tọa độ của $M$ thỏa hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\\(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2\end{array}\right.\quad(I)$.
Ta có $(I)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+2=0\\x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z+10=0\end{array}\right.\Rightarrow2x+2y+2z-8=0\Leftrightarrow x+y+z-4=0$.
Suy ra $M\in(P):x+y+z-4=0$.