Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 6
Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$ và $C(-1;-1;1)$. Gọi $(S_1)$ là mặt cầu có tâm $A$, bán kính bằng $2$; $(S_2)$ và $(S_3)$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là $B$, $C$ và bán kính đều bằng $1$. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu $(S_1)$, $(S_2)$, $(S_3)$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi phương trình mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: $ax+by+cz+d=0$ (đk: $a^2+b^2+c^2>0$).
Khi đó ta có hệ điều kiện sau: $\left\{\begin{array}{l}d(A;(P))=2\\d(B;(P))=1\\d(C;(P))=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{|a+2b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\\\dfrac{|3a-b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\\\dfrac{|-a-b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|a+2b+c+d|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|3a-b+c+d|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|-a-b+c+d|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.$.
Khi đó ta có: $|3a-b+c+d|=|-a-b+c+d|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3a-b+c+d=-a-b+c+d\\3a-b+c+d=a+b-c-d\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\\a-b+c+d=0\end{array}\right.$.
Với $a=0$ thì ta có $\left\{\begin{array}{l}|2b+c+d|=2\sqrt{b^2+c^2}\\|2b+c+d|=2|-b+c+d|\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|2b+c+d|=2\sqrt{b^2+c^2}\\\left[\begin{array}{l}4b-c-d=0\\c+d=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c+d=0\Rightarrow c=d=0,b\ne0\\c+d=4b,c=\pm2\sqrt2b\end{array}\right.$ do đó có 3 mặt phẳng.
Với $a-b+c+d=0$ thì ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|3b|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|2a|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|3b|=4|a|\\|2a|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|b|=\dfrac43|a|\\|c|=\dfrac{\sqrt{11}}3|a|\end{array}\right.$
do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có $7$ mặt phẳng thỏa mãn bài toán.
Khi đó ta có hệ điều kiện sau: $\left\{\begin{array}{l}d(A;(P))=2\\d(B;(P))=1\\d(C;(P))=1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac{|a+2b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=2\\\dfrac{|3a-b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\\\dfrac{|-a-b+c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|a+2b+c+d|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|3a-b+c+d|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|-a-b+c+d|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.$.
Khi đó ta có: $|3a-b+c+d|=|-a-b+c+d|\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}3a-b+c+d=-a-b+c+d\\3a-b+c+d=a+b-c-d\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\\a-b+c+d=0\end{array}\right.$.
Với $a=0$ thì ta có $\left\{\begin{array}{l}|2b+c+d|=2\sqrt{b^2+c^2}\\|2b+c+d|=2|-b+c+d|\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|2b+c+d|=2\sqrt{b^2+c^2}\\\left[\begin{array}{l}4b-c-d=0\\c+d=0\end{array}\right.\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}c+d=0\Rightarrow c=d=0,b\ne0\\c+d=4b,c=\pm2\sqrt2b\end{array}\right.$ do đó có 3 mặt phẳng.
Với $a-b+c+d=0$ thì ta có $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|3b|=2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\\|2a|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|3b|=4|a|\\|2a|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}|b|=\dfrac43|a|\\|c|=\dfrac{\sqrt{11}}3|a|\end{array}\right.$
do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Vậy có $7$ mặt phẳng thỏa mãn bài toán.