Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 7
Trong không gian $Oxyz$, cho $(S):(x+3)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=36$, điểm $M(7;1;3)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng di động luôn đi qua $M$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ tại $N$. Tiếp điểm $N$ di động trên đường tròn $(T)$ có tâm $J(a,b,c)$. Gọi $k=2a-5b+10c$, thì giá trị của $k$ là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S):(x+3)^2+(y-2)^2+(z-5)^2=36$ có tâm $I(-3;2;5)$, bán kính $R=6$.
Có $IM=\sqrt{25+16+4}=3\sqrt5>6=R$, nên $M$ thuộc miền ngoài của mặt cầu $(S)$.
Có $MN$ tiếp xúc mặt cầu $(S)$ tại $N$, nên $MN\perp IN$ tại $N$.
Gọi $J$ là điểm chiếu của $N$ lên $MI$.
Có $IN^2=IJ\cdot IM$. Suy ra $IJ=\dfrac{IN^2}{IM}=\dfrac{36}{3\sqrt5}=\dfrac{12\sqrt5}{5}$ (không đổi), $I$ cố định.
Suy ra $N$ thuộc $(P)$ cố định và mặt cầu $(S)$, nên $N$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $J$.
Gọi $N(x;y;z)$, có $\overrightarrow{IJ}=\dfrac{IJ}{IM}\overrightarrow{IM}=\dfrac{12\sqrt5}{5}\dfrac1{3\sqrt5}\overrightarrow{IM}=\dfrac45\overrightarrow{IM}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+3=8\\y-2=-\dfrac45\\z-5=-\dfrac25\end{array}\right.$.
$\Rightarrow J\left(5;\dfrac65;\dfrac{23}{5}\right)$, $k=2a-5b+10c=50$. Vậy $k=50$.