Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 8
Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $M(2;1;4),N(5;0;0),P(1;-3;1)$. Gọi $I(a;b;c)$ là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ đồng thời đi qua các điểm $M,N,P$. Tìm $c$ biết rằng $a+b+c<5$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(a;b;c)$ là $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Đk: $a^2+b^2+c^2-d>0$.
$(S)$ đi qua các điểm $M,N,P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-4a-2b-8c+d=-21\\-10a+d=-25\\-2a+6b-2c+d=-11\\R=|a|\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\8a+6b-2c=14\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\32a+24b-8c=56\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\26a+26b=52\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c=a-1\\d=10a-25\\b=-a+2\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.$.
$\Rightarrow(-a+2)^2+(a-1)^2-10a+25=0\Leftrightarrow2a^2-16a+30=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=3\\a=5\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=-1\\c=2\\d=5\end{array}\right.\text{ hay }\left\{\begin{array}{l}a=5\\b=-3\\c=4\\d=25\end{array}\right.$.
Vì $a+b+c<5$ nên chọn $c=2$.
Đk: $a^2+b^2+c^2-d>0$.
$(S)$ đi qua các điểm $M,N,P$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-4a-2b-8c+d=-21\\-10a+d=-25\\-2a+6b-2c+d=-11\\R=|a|\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\8a+6b-2c=14\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\32a+24b-8c=56\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-8c=4\\d=10a-25\\26a+26b=52\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}c=a-1\\d=10a-25\\b=-a+2\\b^2+c^2-d=0\end{array}\right.$.
$\Rightarrow(-a+2)^2+(a-1)^2-10a+25=0\Leftrightarrow2a^2-16a+30=0$
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=3\\a=5\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3\\b=-1\\c=2\\d=5\end{array}\right.\text{ hay }\left\{\begin{array}{l}a=5\\b=-3\\c=4\\d=25\end{array}\right.$.
Vì $a+b+c<5$ nên chọn $c=2$.