Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 9
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M(6;0;0)$, $N(0;6;0)$, $P(0;0;6)$. Hai mặt cầu có phương trình $(S_1):x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0$ và $(S_2):x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0$ cắt nhau theo đường tròn $(C)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(MNP)$.
Ta có: $(S)$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$
$\Leftrightarrow d(I,MN)=d(I,NP)=d(I,PM)\Leftrightarrow d(H,MN)=d(H,NP)=d(H,PM)$
$\Leftrightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$.
$(MNP)$ có phương trình là $\dfrac x6+\dfrac y6+\dfrac z6=1$ hay $x+y+z-6=0$.
$(C)=(S_1)\cap(S_2)\Rightarrow$ tọa độ các điểm thuộc trên $(C)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0\\x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0\end{array}\right.\Rightarrow3x-2y-z=0$.
Do đó, phương trình mặt phẳng chứa $(C)$ là $(\alpha):3x-2y-z=0$.
Vì $1\cdot3+1\cdot(-2)+1\cdot(-1)=0\Rightarrow(MNP)\perp(\alpha)$. $(1)$
Ta có: $MN=NP=PM=6\sqrt2\Rightarrow\triangle MNP$ đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP\Rightarrow G(2;2;2)$ và $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$. Thay tọa độ của điểm $G$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$, ta có: $G\in(\alpha)$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với $(MNP)$ tại $G$.
Vì $\left\{\begin{array}{l}(MNP)\perp(\alpha)\\G\in(\alpha)\end{array}\right.\Rightarrow\Delta\subset(\alpha)$.
Khi đó: $\forall I\in\Delta\Rightarrow d(I,MN)=d(I,NP)=d(I,PM)=r$
$\Rightarrow$ mặt cầu tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.
Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(MNP)$.
Ta có: $(S)$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$
$\Leftrightarrow d(I,MN)=d(I,NP)=d(I,PM)\Leftrightarrow d(H,MN)=d(H,NP)=d(H,PM)$
$\Leftrightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp hoặc tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $MNP$.
$(MNP)$ có phương trình là $\dfrac x6+\dfrac y6+\dfrac z6=1$ hay $x+y+z-6=0$.
$(C)=(S_1)\cap(S_2)\Rightarrow$ tọa độ các điểm thuộc trên $(C)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-2x-2y+1=0\\x^2+y^2+z^2-8x+2y+2z+1=0\end{array}\right.\Rightarrow3x-2y-z=0$.
Do đó, phương trình mặt phẳng chứa $(C)$ là $(\alpha):3x-2y-z=0$.
Vì $1\cdot3+1\cdot(-2)+1\cdot(-1)=0\Rightarrow(MNP)\perp(\alpha)$. $(1)$
Ta có: $MN=NP=PM=6\sqrt2\Rightarrow\triangle MNP$ đều.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNP\Rightarrow G(2;2;2)$ và $G$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$. Thay tọa độ của điểm $G$ vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$, ta có: $G\in(\alpha)$.
Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với $(MNP)$ tại $G$.
Vì $\left\{\begin{array}{l}(MNP)\perp(\alpha)\\G\in(\alpha)\end{array}\right.\Rightarrow\Delta\subset(\alpha)$.
Khi đó: $\forall I\in\Delta\Rightarrow d(I,MN)=d(I,NP)=d(I,PM)=r$
$\Rightarrow$ mặt cầu tâm $I$ bán kính $r$ tiếp xúc với ba đường thẳng $MN$, $NP$, $PM$.
Vậy có vô số mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $MN,NP,PM$.