Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho $A(-3;1;1)$, $B(1;-1;5)$ và mặt phẳng $(P):2x-y+2z+11=0$. Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại điểm $C$. Biết $C$ luôn thuộc một đường tròn $(T)$ cố định. Tính bán kính $r$ của đường tròn $(T)$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;-2;4)$ và mp $(P)$ có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow n=(2;-1;2)$. Do đó $AB$ vuông góc với $(P)$.
Giả sử mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,B$ nên ta có
$\left\{\begin{array}{l}9+1+1+6a-2b-2c+d=0\\1+1+25-2a+2b-10c+d=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}6a-2b-2c+d=-11\\2a-2b+10c-d=27\end{array}\right.$.
Suy ra $8a-4b+8c=16\Leftrightarrow2a-b+2c=4$.
Mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ nên ta có $d(I,(P))=\dfrac{|2a-b+2c+11|}{3}=5$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;-2;4)\Rightarrow AB=\sqrt{16+4+16}=6$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ ta có
$d(C,AB)=IM=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Vậy $C$ luôn thuộc một đường tròn $(T)$ cố định có bán kính $r=4$.
