Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 11
Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(\dfrac{5+\sqrt3}{2};\dfrac{7-\sqrt3}{2};3\right)$, $B\left(\dfrac{5-\sqrt3}{2};\dfrac{7+\sqrt3}{2};3\right)$ và mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=6$. Xét mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, $(a,b,c,d\in\mathbb Z:d<-5)$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm $A,B$. Gọi $(N)$ là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu $(S)$ và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$. Tính giá trị của $T=|a+b+c+d|$ khi thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ có diện tích lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt6$.
Có $IA=IB=\sqrt6$ nên $A,B$ thuộc mặt cầu $(S)$.
$\overrightarrow{AB}=(-\sqrt3;\sqrt3;0)=-\sqrt3(1;-1;0)=-\sqrt3\overrightarrow a$, $M\left(\dfrac52;\dfrac72;3\right)$ là trung điểm của $AB$.
Gọi $\overrightarrow a=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow n=(a;b;c)$ với $a^2+b^2+c^2>0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
Vì $A,B\in(P)$ nên có $\left\{\begin{array}{l}M\in(P)\\\overrightarrow a\cdot\overrightarrow n=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\dfrac52a+\dfrac72b+3c+d=0\\a-b=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}d=-6a-3c\\a=b\end{array}\right.$.
Gọi $h=d(I,(P))$, $(C)=(P)\cap(S)$, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$.
$r=\sqrt{R^2-h^2}=\sqrt{6-h^2}$.
Diện tích thiết diện qua trục của hình nón $(N)$:
$S=\dfrac12h\cdot2r=h\sqrt{6-h^2}\leq\dfrac{h^2+6-h^2}{2}=3$.
$\max S=3$ khi $h^2=6-h^2\Rightarrow h=\sqrt3$.
$h=d(I,(P))\Leftrightarrow\sqrt3=\dfrac{|a+2b+3c+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\Leftrightarrow a^2=c^2\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=c\\a=-c\end{array}\right.$.
Nếu $a=c$ thì $b=a;d=-9a$ và $(P):ax+ay+az-9a=0\Leftrightarrow x+y+z-9=0$ (nhận).
Nếu $a=-c$ thì $b=a;d=-3a$ và $(P):ax+ay-az-3a=0\Leftrightarrow x+y-z-3=0$ (loại).
Vậy $T=|a+b+c+d|=6$.