Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 12
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a,b,c>0$. Biết rằng $(ABC)$ đi qua điểm $M\left(\dfrac17;\dfrac27;\dfrac37\right)$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\dfrac{72}{7}$. Tính $\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(ABC)$ là: $\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$.
Vì điểm $M\left(\dfrac17,\dfrac27,\dfrac37\right)$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$
$\Rightarrow\dfrac1{7a}+\dfrac2{7b}+\dfrac3{7c}=1\Rightarrow\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c=7$.
Mặt khác mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\dfrac{72}{7}$
$\Rightarrow$ khoảng cách từ tâm $I(1,2,3)$ của cầu tới mặt phẳng $(ABC)$ là $\sqrt{\dfrac{72}{7}}$.
$\Rightarrow d(I,(ABC))=\dfrac{\left|\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c-1\right|}{\sqrt{\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}$ mà $\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c=7$.
$\Rightarrow d(I,(ABC))=\dfrac{|7-1|}{\sqrt{\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Rightarrow\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}=\dfrac72$.
Vì điểm $M\left(\dfrac17,\dfrac27,\dfrac37\right)$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$
$\Rightarrow\dfrac1{7a}+\dfrac2{7b}+\dfrac3{7c}=1\Rightarrow\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c=7$.
Mặt khác mặt phẳng $(ABC)$ tiếp xúc với $(S):(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=\dfrac{72}{7}$
$\Rightarrow$ khoảng cách từ tâm $I(1,2,3)$ của cầu tới mặt phẳng $(ABC)$ là $\sqrt{\dfrac{72}{7}}$.
$\Rightarrow d(I,(ABC))=\dfrac{\left|\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c-1\right|}{\sqrt{\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}$ mà $\dfrac1a+\dfrac2b+\dfrac3c=7$.
$\Rightarrow d(I,(ABC))=\dfrac{|7-1|}{\sqrt{\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}}}=\sqrt{\dfrac{72}{7}}\Rightarrow\dfrac1{a^2}+\dfrac1{b^2}+\dfrac1{c^2}=\dfrac72$.