Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 14
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-1)^2=4$ và điểm $A(2;2;2)$. Từ $A$ kẻ ba tiếp tuyến $AB$, $AC$, $AD$ với $B$, $C$, $D$ là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng $(BCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$, bán kính $R=2$.
Có $\overrightarrow{IA}=(2;2;1)\Rightarrow IA=3$.
Tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB=\sqrt{IA^2-IB^2}=\sqrt5$.
Gọi $H(x;y;z)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.
Ta có: $IB^2=IH\cdot IA\Rightarrow IH=\dfrac{IB^2}{IA}=\dfrac43\Rightarrow IH=\dfrac49IA$.
Từ đó suy ra được $\overrightarrow{IH}=\dfrac49\overrightarrow{IA}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac89\\y=\dfrac89\\z=\dfrac{13}{9}\end{array}\right.\Rightarrow H\left(\dfrac89;\dfrac89;\dfrac{13}{9}\right)$.
Mặt phẳng $(BCD)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=(2;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm $H$.
Vậy $(BCD)$ có phương trình: $2\left(x-\dfrac89\right)+2\left(y-\dfrac89\right)+\left(z-\dfrac{13}{9}\right)=0\Leftrightarrow2x+2y+z-5=0$.
Có $\overrightarrow{IA}=(2;2;1)\Rightarrow IA=3$.
Tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB=\sqrt{IA^2-IB^2}=\sqrt5$.
Gọi $H(x;y;z)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.
Ta có: $IB^2=IH\cdot IA\Rightarrow IH=\dfrac{IB^2}{IA}=\dfrac43\Rightarrow IH=\dfrac49IA$.
Từ đó suy ra được $\overrightarrow{IH}=\dfrac49\overrightarrow{IA}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac89\\y=\dfrac89\\z=\dfrac{13}{9}\end{array}\right.\Rightarrow H\left(\dfrac89;\dfrac89;\dfrac{13}{9}\right)$.
Mặt phẳng $(BCD)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow{IA}=(2;2;1)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $(BCD)$ đi qua điểm $H$.
Vậy $(BCD)$ có phương trình: $2\left(x-\dfrac89\right)+2\left(y-\dfrac89\right)+\left(z-\dfrac{13}{9}\right)=0\Leftrightarrow2x+2y+z-5=0$.