Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 15

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$, bán kính $R=5$, mặt cầu $(S')$ có tâm $I'(1;2;3)$, bán kính $R'=1$.
Vì $I'I=3<R-R'=4$ nên mặt cầu $(S')$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc $(S')\Rightarrow d(I',(P))=R'=1$; $(P)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng $6\pi$ (suy ra bán kính đường tròn là $r=3$) nên $d(I,(P))=\sqrt{R^2-r^2}=4$.
Nhận thấy $d(I,(P))-d(I',(P))=I'I$ nên tiếp điểm $H$ của $(P)$ và $(S')$ cũng là tâm đường tròn giao của $(P)$ và $(S)$. Khi đó, $(P)$ là mặt phẳng đi qua $H$, nhận $\overrightarrow{II'}=(1;2;2)$ làm vecto pháp tuyến.
Ta có: $\overrightarrow{IH}=\dfrac43\overrightarrow{II'}\Leftrightarrow H\left(\dfrac43;\dfrac83;\dfrac{11}{3}\right)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$: $x-\dfrac43+2\left(y-\dfrac83\right)+2\left(z-\dfrac{11}{3}\right)=0\Leftrightarrow x+2y+2z-14=0$.
Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ là $d(O,(P))=\dfrac{14}{3}$.