Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 16
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;11;-5)$ và mặt phẳng $(P):2mx+(m^2+1)y+(m^2-1)z-10=0$. Biết rằng khi $m$ thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ và cùng đi qua $A$. Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I(x_0;y_0;z_0)$ là tâm của mặt cầu $(S)$ cố định và $R$ là bán kính của mặt cầu $(S)$.
Ta có:
$R=d(I,(P))=\dfrac{|2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10|}{\sqrt{4m^2+(m^2+1)^2+(m^2-1)^2}}=\dfrac{|2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10|}{\sqrt2(m^2+1)}$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10=R\sqrt2(m^2+1)\\2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10=-R\sqrt2(m^2+1)\end{array}\right.$ đúng với mọi $m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}(y_0+z_0)m^2+2mx_0+y_0-z_0-10=R\sqrt2m^2+R\sqrt2\\(y_0+z_0)m^2+2mx_0+y_0-z_0-10=-R\sqrt2m^2-R\sqrt2\end{array}\right.$ đúng với mọi $m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y_0+z_0=R\sqrt2\\x_0=0\\y_0-z_0-10=R\sqrt2\end{array}\right.\ (I)\\\left\{\begin{array}{l}y_0+z_0=-R\sqrt2\\x_0=0\\y_0-z_0-10=-R\sqrt2\end{array}\right.\ (II)\end{array}\right.$.
Từ hệ $(I)$ suy ra $x_0=0;y_0=5+R\sqrt2;z_0=-5$.
Do đó tâm mặt cầu là $I(0;5+R\sqrt2;-5)$.
Ta có: $R^2=IA^2\Leftrightarrow R^2=4+(R\sqrt2-6)^2$ suy ra $R=2\sqrt2$ và $R=10\sqrt2$.
Hệ $(II)$ suy ra $x_0=0;y_0=5-R\sqrt2,z_0=-5$.
Như vậy, ta có $R^2=IA^2\Leftrightarrow 4+(R\sqrt2+6)^2=R^2$, phương trình không có giá trị $R$ thỏa mãn nên loại.
Vậy tổng hai bán kính của hai mặt cầu là $12\sqrt2$.
Ta có:
$R=d(I,(P))=\dfrac{|2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10|}{\sqrt{4m^2+(m^2+1)^2+(m^2-1)^2}}=\dfrac{|2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10|}{\sqrt2(m^2+1)}$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10=R\sqrt2(m^2+1)\\2mx_0+(m^2+1)y_0+(m^2-1)z_0-10=-R\sqrt2(m^2+1)\end{array}\right.$ đúng với mọi $m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}(y_0+z_0)m^2+2mx_0+y_0-z_0-10=R\sqrt2m^2+R\sqrt2\\(y_0+z_0)m^2+2mx_0+y_0-z_0-10=-R\sqrt2m^2-R\sqrt2\end{array}\right.$ đúng với mọi $m\in\mathbb R$.
$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}y_0+z_0=R\sqrt2\\x_0=0\\y_0-z_0-10=R\sqrt2\end{array}\right.\ (I)\\\left\{\begin{array}{l}y_0+z_0=-R\sqrt2\\x_0=0\\y_0-z_0-10=-R\sqrt2\end{array}\right.\ (II)\end{array}\right.$.
Từ hệ $(I)$ suy ra $x_0=0;y_0=5+R\sqrt2;z_0=-5$.
Do đó tâm mặt cầu là $I(0;5+R\sqrt2;-5)$.
Ta có: $R^2=IA^2\Leftrightarrow R^2=4+(R\sqrt2-6)^2$ suy ra $R=2\sqrt2$ và $R=10\sqrt2$.
Hệ $(II)$ suy ra $x_0=0;y_0=5-R\sqrt2,z_0=-5$.
Như vậy, ta có $R^2=IA^2\Leftrightarrow 4+(R\sqrt2+6)^2=R^2$, phương trình không có giá trị $R$ thỏa mãn nên loại.
Vậy tổng hai bán kính của hai mặt cầu là $12\sqrt2$.