Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+4y-2z-7=0$ và đường thẳng $d_m$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x+(1-2m)y+4mz-4=0$ và $2x+my-(2m+1)z-8=0$. Khi đó $m$ thay đổi các giao điểm của $d_m$ và $(S)$ nằm trên một đường tròn cố định. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image541.png] Giả sử đường thẳng $d_m$ cắt mặt cầu tại hai điểm $A,B$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-2;1)$, bán kính $R=4$. Điểm $M(x;y;z)\in d_m$ thỏa $\left\{\begin{array}{l}x+(1-2m)y+4mz-4=0\2x+my-(2m+1)z-8=0\end{array}ight.\Rightarrow5x+y-2z-20=0$ nên các giao điểm của $(S)$ và $d_m$ thuộc đường tròn giao tuyến giữa $(S)$ và $(P):5x+y-2z-20=0$. $d(I,(P))=\dfrac{14}{\sqrt{30}}$ nên $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}=\sqrt{4^2-\dfrac{14^2}{30}}=\sqrt{\dfrac{142}{15}}$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 17