Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 18
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-2(a+4b)x+2(a-b+c)y+2(b-c)z+d=0$, tâm $I$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha)$ cố định. Biết rằng $4a+b-2c=4$. Tìm khoảng cách từ điểm $D(1;2;-2)$ đến mặt phẳng $(\alpha)$.
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(a+4b;-a+b-c;-b+c)$.
Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$.
Vì $I\in(\alpha)$ nên ta có
$A(a+4b)+B(-a+b-c)+C(-b+c)+D=0$
$\Leftrightarrow(A-B)a+(4A+B-C)b+(-B+C)c=-D\quad(1)$.
Theo bài ra ta có $4a+b-2c=4\quad(2)$.
Đồng nhất (1) và (2) ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}A-B=4\\4A+B-C=1\\-B+C=-2\\D=-4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=-\dfrac14\\B=-\dfrac{17}{4}\\C=-\dfrac{25}{4}\\D=-4\end{array}\right.$.
Suy ra $(\alpha)$ có phương trình $x+17y+25z+16=0$.
Vậy, khoảng cách từ điểm $D(1;2;-2)$ đến $(\alpha)$ bằng
$d(D,(\alpha))=\dfrac{|1+17\cdot2+25\cdot(-2)+16|}{\sqrt{1^2+17^2+25^2}}=\dfrac1{\sqrt{915}}$.
Giả sử mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $Ax+By+Cz+D=0$.
Vì $I\in(\alpha)$ nên ta có
$A(a+4b)+B(-a+b-c)+C(-b+c)+D=0$
$\Leftrightarrow(A-B)a+(4A+B-C)b+(-B+C)c=-D\quad(1)$.
Theo bài ra ta có $4a+b-2c=4\quad(2)$.
Đồng nhất (1) và (2) ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}A-B=4\\4A+B-C=1\\-B+C=-2\\D=-4\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=-\dfrac14\\B=-\dfrac{17}{4}\\C=-\dfrac{25}{4}\\D=-4\end{array}\right.$.
Suy ra $(\alpha)$ có phương trình $x+17y+25z+16=0$.
Vậy, khoảng cách từ điểm $D(1;2;-2)$ đến $(\alpha)$ bằng
$d(D,(\alpha))=\dfrac{|1+17\cdot2+25\cdot(-2)+16|}{\sqrt{1^2+17^2+25^2}}=\dfrac1{\sqrt{915}}$.