Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 19
Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):x ^ { 2 } +\left ( { y+\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } +z ^ { 2 } =16 $. Có tất cả bao nhiêu điểm $ A\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ ($ a $, $ c $ là các số nguyên) thuộc mặt phẳng có phương trình $ y-2\sqrt { 2 }=0 $ sao cho có ít nhất hai tiếp tuyến của $ \left ( { S } \right ) $ đi qua $ A $ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { 0;\,-\sqrt { 2 };\,0 } \right ) $ và bán kính $ R=4 $.
$ A\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ thuộc mặt phẳng có phương trình $ y-2\sqrt { 2 }=0 $ nên $ b=2\sqrt { 2 } $. Hay $ A\left ( { a;\,2\sqrt { 2 };\,c } \right ) $.
Tập tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua $ A $ là một đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. Gọi $ BC $ là một đường kính của $ \left ( { C } \right ) $. Khi đó $ \widehat { BAC } $ là góc có số đo lớn nhất trong tất cả các góc còn lại.
Như vậy điều kiện có ít nhất hai tiếp tuyến của $ \left ( { S } \right ) $ đi qua $ A $ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau là góc $ 90°\leq \widehat { BAC } < 180° $.
Trong trường hợp $ \widehat { BAC }=90° $ thì $ ABIC $ là hình vuông nên ta có $ AI=4\sqrt { 2 } $.
Như vậy, suy ra: YCBT $ \Leftrightarrow IA\leq 4\sqrt { 2 } $. Hay $ IA=\sqrt { a ^ { 2 } +18+c ^ { 2 } }\leq 4\sqrt { 2 } $ $ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +c ^ { 2 } \leq 14 $.
Do $ a $, $ c $ là các số nguyên nên xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $ a=0 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 7 $ điểm.
Trường hợp 2: $ a=\pm1 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 14 $ điểm.
Trường hợp 3: $ a=\pm2 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 14 $ điểm.
Trường hợp 4: $ a=\pm3 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2 \end{array} \right \} $. Có $ 10 $ điểm.
Vậy có tổng $ 7+14+14+10=45 $ điểm thỏa mãn bài toán.
$ A\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ thuộc mặt phẳng có phương trình $ y-2\sqrt { 2 }=0 $ nên $ b=2\sqrt { 2 } $. Hay $ A\left ( { a;\,2\sqrt { 2 };\,c } \right ) $.
Tập tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua $ A $ là một đường tròn $ \left ( { C } \right ) $. Gọi $ BC $ là một đường kính của $ \left ( { C } \right ) $. Khi đó $ \widehat { BAC } $ là góc có số đo lớn nhất trong tất cả các góc còn lại.
Như vậy điều kiện có ít nhất hai tiếp tuyến của $ \left ( { S } \right ) $ đi qua $ A $ và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau là góc $ 90°\leq \widehat { BAC } < 180° $.
Trong trường hợp $ \widehat { BAC }=90° $ thì $ ABIC $ là hình vuông nên ta có $ AI=4\sqrt { 2 } $.
Như vậy, suy ra: YCBT $ \Leftrightarrow IA\leq 4\sqrt { 2 } $. Hay $ IA=\sqrt { a ^ { 2 } +18+c ^ { 2 } }\leq 4\sqrt { 2 } $ $ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +c ^ { 2 } \leq 14 $.
Do $ a $, $ c $ là các số nguyên nên xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: $ a=0 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 7 $ điểm.
Trường hợp 2: $ a=\pm1 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 14 $ điểm.
Trường hợp 3: $ a=\pm2 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2;\,\pm3 \end{array} \right \} $. Có $ 14 $ điểm.
Trường hợp 4: $ a=\pm3 $ $ \Rightarrow c\in \left \{ \begin{array}{l} 0;\,\pm1;\,\pm2 \end{array} \right \} $. Có $ 10 $ điểm.
Vậy có tổng $ 7+14+14+10=45 $ điểm thỏa mãn bài toán.