Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 20
Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\left ( { x+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =9 $ và điểm $ A\left ( { 2;3;-1 } \right ) $. Xét các điểm $ M $ thuộc $ \left ( { S } \right ) $ sao cho đường thẳng $ AM $ tiếp xúc với $ \left ( { S } \right ) $. Hỏi điểm $ M $ luôn thuộc mặt phẳng nào có phương trình dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ có tâm $ I\left ( { -1;\,-1;\,-1 } \right ) $ và bán kính $ R=3 $.
Do $ AM $ là tiếp tuyến của mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ nên $ IM\perp AM $ suy ra $ AM=\sqrt { AI ^ { 2 } -IM ^ { 2 } } $.
Ta có $ AI=5,\,IM=R=3 $. Suy ra $ AM=\sqrt { AI ^ { 2 } -IM ^ { 2 } }=4 $
Tập hợp các tiếp điểm $ M $ tạo thành đường tròn có tâm là $ H $. Khi đó ta có $ \Delta AHM $ đồng dạng với $ \Delta AMI $
Suy ra $ \frac { AH } { AM }=\frac { AM } { AI }\Rightarrow AH=\frac { AM ^ { 2 } } { AI }=\frac { 16 } { 5 } $
Gọi $ \left ( { \alpha } \right ) $ là mặt phẳng chứa các tiếp điểm $ M. $ Khi đó $ \left ( { \alpha } \right ) $ có vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}=\left ( { -3;-4;0 } \right ) $ nên phương trình $ \left ( { \alpha } \right ) $ có dạng $ -3x-4y-d=0\Leftrightarrow 3x+4y+d=0 $
Do $ d\left ( { A,\left ( { \alpha } \right ) } \right )=AH\Leftrightarrow \frac { \left | { 18+d } \right | } { 5 }=\frac { 16 } { 5 }\Leftrightarrow \left | { 18+d } \right |=16\Leftrightarrow \left[ d=-2 \\ d=-34 \right. $
Vậy $ \left ( { \alpha _{ 1 } } \right ):3x+4y-2=0;\,\left ( { \alpha _{ 2 } } \right ):3x+4y-34=0 $
Do $ d\left ( { I,\left ( { \alpha _{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 9 } { 5 } < 3 $ nên $ \left ( { \alpha _{ 1 } } \right ) $ cắt $ \left ( { S } \right ) $ (nhận)
Và $ d\left ( { I,\left ( { \alpha _{ 2 } } \right ) } \right )=\frac { 41 } { 5 }>3 $ nên $ \left ( { \alpha _{ 2 } } \right ) $ không cắt $ \left ( { S } \right ) $ (loại)
Do $ AM $ là tiếp tuyến của mặt cầu $ \left ( { S } \right ) $ nên $ IM\perp AM $ suy ra $ AM=\sqrt { AI ^ { 2 } -IM ^ { 2 } } $.
Ta có $ AI=5,\,IM=R=3 $. Suy ra $ AM=\sqrt { AI ^ { 2 } -IM ^ { 2 } }=4 $
Tập hợp các tiếp điểm $ M $ tạo thành đường tròn có tâm là $ H $. Khi đó ta có $ \Delta AHM $ đồng dạng với $ \Delta AMI $
Suy ra $ \frac { AH } { AM }=\frac { AM } { AI }\Rightarrow AH=\frac { AM ^ { 2 } } { AI }=\frac { 16 } { 5 } $
Gọi $ \left ( { \alpha } \right ) $ là mặt phẳng chứa các tiếp điểm $ M. $ Khi đó $ \left ( { \alpha } \right ) $ có vectơ pháp tuyến là $ \overrightarrow{n}=\overrightarrow{AI}=\left ( { -3;-4;0 } \right ) $ nên phương trình $ \left ( { \alpha } \right ) $ có dạng $ -3x-4y-d=0\Leftrightarrow 3x+4y+d=0 $
Do $ d\left ( { A,\left ( { \alpha } \right ) } \right )=AH\Leftrightarrow \frac { \left | { 18+d } \right | } { 5 }=\frac { 16 } { 5 }\Leftrightarrow \left | { 18+d } \right |=16\Leftrightarrow \left[ d=-2 \\ d=-34 \right. $
Vậy $ \left ( { \alpha _{ 1 } } \right ):3x+4y-2=0;\,\left ( { \alpha _{ 2 } } \right ):3x+4y-34=0 $
Do $ d\left ( { I,\left ( { \alpha _{ 1 } } \right ) } \right )=\frac { 9 } { 5 } < 3 $ nên $ \left ( { \alpha _{ 1 } } \right ) $ cắt $ \left ( { S } \right ) $ (nhận)
Và $ d\left ( { I,\left ( { \alpha _{ 2 } } \right ) } \right )=\frac { 41 } { 5 }>3 $ nên $ \left ( { \alpha _{ 2 } } \right ) $ không cắt $ \left ( { S } \right ) $ (loại)