Bài tập nâng cao · Bài 21
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 21
Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho hai mặt cầu $ \left ( { S_{ 1 } } \right ):\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-1 } \right ) ^ { 2 } =4 $ và $ \left ( { S_{ 2 } } \right ):\left ( { x-3 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z+1 } \right ) ^ { 2 } =1 $. Gọi $ M $ là điểm thay đổi thuộc mặt cầu $ \left ( { S_{ 2 } } \right ) $ sao cho tồn tại ba mặt phẳng đi qua $ M $, đôi một vuông góc với nhau và lần lượt cắt mặt cầu $ \left ( { S_{ 1 } } \right ) $ theo ba đường tròn. Giá trị lớn nhất của tổng chu vi ba đường tròn đó là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \left ( { S_{ 1 } } \right ) $ có tâm $ I_{ 1 } \left ( { 2;-3;1 } \right ) $, bán kính $ R_{ 1 } =2 $, $ \left ( { S_{ 2 } } \right ) $ có tâm $ I_{ 2 } \left ( { 3;-1;-1 } \right ) $, bán kính $ R_{ 2 } =1 $.
Ta thấy $ I_{ 1 } I_{ 2 } =3=R_{ 1 } +R_{ 2 } $ nên $ \left ( { S_{ 1 } } \right ) $ tiếp xúc ngoài với $ \left ( { S_{ 2 } } \right ) $, do đó $ I_{ 1 } M\geq R_{ 1 } =2 $.
Gọi $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 } $ lần lượt là khoảng cách từ $ I_{ 1 } $ đến ba mặt phẳng qua $ M $ và đôi một vuông góc với nhau ; $ r_{ 1 } ,r_{ 2 } ,r_{ 3 } $ tương ứng là bán kính của ba đường tròn giao tuyến.
Ta thấy $ d_{ 1 } ^{ 2 }+d_{ 2 } ^{ 2 }+d_{ 3 } ^{ 2 }=I_{ 1 } M ^ { 2 } $, do đó $ r_{ 1 } ^{ 2 }+r_{ 2 } ^{ 2 }+r_{ 3 } ^{ 2 }=3R_{ 1 } ^{ 2 }-\left ( { d_{ 1 } ^{ 2 }+d_{ 2 } ^{ 2 }+d_{ 3 } ^{ 2 } } \right )=3R_{ 1 } ^{ 2 }-I_{ 1 } M ^ { 2 } \leq 2R_{ 1 } ^{ 2 }=8 $.
Tổng chu vi của ba đường tròn là
$ 2\pi \left ( { r_{ 1 } +r_{ 2 } +r_{ 3 } } \right )\leq 2\pi \sqrt { 3\left ( { r_{ 1 } ^{ 2 }+r_{ 2 } ^{ 2 }+r_{ 3 } ^{ 2 } } \right ) }\leq 4\sqrt { 6 }\pi $. Do đó giá trị lớn nhất là $ 4\sqrt { 6 }\pi $.
Ta thấy $ I_{ 1 } I_{ 2 } =3=R_{ 1 } +R_{ 2 } $ nên $ \left ( { S_{ 1 } } \right ) $ tiếp xúc ngoài với $ \left ( { S_{ 2 } } \right ) $, do đó $ I_{ 1 } M\geq R_{ 1 } =2 $.
Gọi $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 } $ lần lượt là khoảng cách từ $ I_{ 1 } $ đến ba mặt phẳng qua $ M $ và đôi một vuông góc với nhau ; $ r_{ 1 } ,r_{ 2 } ,r_{ 3 } $ tương ứng là bán kính của ba đường tròn giao tuyến.
Ta thấy $ d_{ 1 } ^{ 2 }+d_{ 2 } ^{ 2 }+d_{ 3 } ^{ 2 }=I_{ 1 } M ^ { 2 } $, do đó $ r_{ 1 } ^{ 2 }+r_{ 2 } ^{ 2 }+r_{ 3 } ^{ 2 }=3R_{ 1 } ^{ 2 }-\left ( { d_{ 1 } ^{ 2 }+d_{ 2 } ^{ 2 }+d_{ 3 } ^{ 2 } } \right )=3R_{ 1 } ^{ 2 }-I_{ 1 } M ^ { 2 } \leq 2R_{ 1 } ^{ 2 }=8 $.
Tổng chu vi của ba đường tròn là
$ 2\pi \left ( { r_{ 1 } +r_{ 2 } +r_{ 3 } } \right )\leq 2\pi \sqrt { 3\left ( { r_{ 1 } ^{ 2 }+r_{ 2 } ^{ 2 }+r_{ 3 } ^{ 2 } } \right ) }\leq 4\sqrt { 6 }\pi $. Do đó giá trị lớn nhất là $ 4\sqrt { 6 }\pi $.