Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 22
Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, xét ba điểm $ A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) $ thỏa mãn $ \frac { 1 } { a }-\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=1 $. Biết rằng mặt cầu $ (S):(x-2) ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =25 $ cắt mặt phẳng $ (ABC) $ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là 4. Giá trị của biểu thức $ a+b+c $ là
Xem lời giải
Lời giải
Theo phương trình đoạn chắn ta có phương trình mặt phẳng $ (ABC) $ là: $ \frac { x } { a }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $.
Với giả thiết $ \frac { 1 } { a }-\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=1 $. Ta thấy mặt phẳng luôn đi qua điểm $ H(1;-1;1) $.
Mặt cầu $ (S) $: $ (x-2) ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =25 $ có tâm $ I(2;1;3),R_{ mc } =5 $.
Ta gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên mặt phẳng $ (ABC) $.
$ IK=\sqrt { R_{ mc } ^{ 2 }-r ^ { 2 } }=3 $ và ta thấy $ IH=3 $ và $ IH\geq IK $ nên ta có $ H $ trùng với điểm $ K $.
$ (ABC) $ qua $ H(1;-1;1) $ và có VTPT $ n=\overrightarrow{HI}=(1;2;2)\Rightarrow x+2y+2z-1=0\Rightarrow \frac { x } { 1 }+\frac { y } { \frac { 1 } { 2 } }+\frac { z } { \frac { 1 } { 2 } }=1 $.
Vậy $ a+b+c=2 $.