Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 23
Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho điểm $ N(2;3;4) $. Một mặt cầu bất kỳ đi qua $ O $ và $ N $ cắt các trục tọa độ $ Ox,Oy,Oz $ lần lượt tại $ A,B,C\neq 0 $. Biết rằng khi mặt cầu thay đổi nhưng vẫn thỏa đề bài, trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Mặt phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó.
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử $ A(a;0;0)=(S)\cap Ox,B(0;b;0)=(S)\cap Oy $ và $ C(0;0;c)=(S)\cap Oz $.
Khi đó $ I $ là tâm của mặt cầu có tọa độ là $ I\left ( { \frac { a } { 2 };\frac { b } { 2 };\frac { c } { 2 } } \right ) $.
Theo tính chất hình hộp, ta có $ \overrightarrow{OG}=\frac { 2 } { 3 }\overrightarrow{OI}\Rightarrow G\left ( { \frac { a } { 3 };\frac { b } { 3 };\frac { c } { 3 } } \right ) $.
Do $ O,N\in (S)\Rightarrow IO=IN\Rightarrow I $ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $ ON $
$ \Rightarrow 2a+3b+4c=29\Leftrightarrow 2\cdot \frac { a } { 3 }+3\cdot \frac { b } { 3 }+4\cdot \frac { c } { 3 }=\frac { 29 } { 3 }\Leftrightarrow 2x_{ G } +3y_{ G } +4z_{ G } =\frac { 29 } { 3 } $
Suy ra $ G\in (P):2x+3y+4z=\frac { 29 } { 3 } $.
Gọi $ M=(P)\cap Ox\Rightarrow M\left ( { \frac { 29 } { 6 };0;0 } \right ),N=(P)\cap Oy\Rightarrow N\left ( { 0;\frac { 29 } { 9 };0 } \right ) $
Và $ P=(P)\cap Oz\Rightarrow P\left ( { 0;0;\frac { 29 } { 12 } } \right ) $.
Vậy $ V_{ OMNP } =\frac { 1 } { 6 }OM.ON.OP=\frac { 24389 } { 3888 } $.
Khi đó $ I $ là tâm của mặt cầu có tọa độ là $ I\left ( { \frac { a } { 2 };\frac { b } { 2 };\frac { c } { 2 } } \right ) $.
Theo tính chất hình hộp, ta có $ \overrightarrow{OG}=\frac { 2 } { 3 }\overrightarrow{OI}\Rightarrow G\left ( { \frac { a } { 3 };\frac { b } { 3 };\frac { c } { 3 } } \right ) $.
Do $ O,N\in (S)\Rightarrow IO=IN\Rightarrow I $ thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn $ ON $
$ \Rightarrow 2a+3b+4c=29\Leftrightarrow 2\cdot \frac { a } { 3 }+3\cdot \frac { b } { 3 }+4\cdot \frac { c } { 3 }=\frac { 29 } { 3 }\Leftrightarrow 2x_{ G } +3y_{ G } +4z_{ G } =\frac { 29 } { 3 } $
Suy ra $ G\in (P):2x+3y+4z=\frac { 29 } { 3 } $.
Gọi $ M=(P)\cap Ox\Rightarrow M\left ( { \frac { 29 } { 6 };0;0 } \right ),N=(P)\cap Oy\Rightarrow N\left ( { 0;\frac { 29 } { 9 };0 } \right ) $
Và $ P=(P)\cap Oz\Rightarrow P\left ( { 0;0;\frac { 29 } { 12 } } \right ) $.
Vậy $ V_{ OMNP } =\frac { 1 } { 6 }OM.ON.OP=\frac { 24389 } { 3888 } $.