Trong không gian $ Oxyz $ cho hai điểm $ A(4;6;2),B(2;-2;0) $ và mặt phẳng $ (P):x+y+z=0 $. Xét đường thẳng $ d $ thay đổi thuộc $ (P) $ và đi qua $ B $, gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ d $. Biết rằng khi $ d $ thay đổi thì $ H $ thuộc một đường tròn cố định. Diện tích của hình tròn đó bằng
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Do $ BHA=90° $ nên $ H $ thuộc mặt cầu đường kính $ AB,H\in (P) $, do đó, $ H $ chạy trên đường tròn là giao của mặt cầu đường kính $ AB $ và $ (P) $. Đường tròn này có tâm là hình chiếu vuông góc của $ I $ lên $ (P) $ với $ I $ là trung điểm của $ AB $, bán kính bằng $ \frac { 1 } { 2 } $ độ dài hình chiếu vuông góc của $ AB $ trên $ (P) $.
Ta có $ \overrightarrow{BA}=(2;8;2);\overset\rightarrow { n_{ P } }=(1;1;1),\left ( { \overrightarrow{BA},\overset\rightarrow { n_{ p } } } \right )=\alpha $
Ta có $ \|\cos\alpha \|=\frac { \left | { \overrightarrow{BA}\cdot \overset\rightarrow { n_{ P } } } \right | } { \|\overrightarrow{BA}\|\cdot \left | { \overset\rightarrow { n_{ P } } } \right | } $
$ r=\frac { 1 } { 2 }\|\overrightarrow{BA}\|\cdot \|\sin\alpha \|=\frac { 1 } { 2 }\|\overrightarrow{BA}\|\cdot \sqrt { 1-\cos ^ { 2 } \alpha }=\sqrt { 6 }S=\pi r ^ { 2 } =6\pi $
Cách 2: Ta có $ AB ^ { 2 } =72,d(A,(P))=\frac { 12 } { \sqrt { 3 } }=4\sqrt { 3 } $, vậy hình chiếu vuông góc của $ AB $ trên $ (P) $ có độ dài là $ \sqrt { AB ^ { 2 } -d ^ { 2 } }=2\sqrt { 6 } $, bán kính $ r=\sqrt { 6 }.S=\pi r ^ { 2 } =6\pi $
