Trong không gian $ { \rm{ O } }{ \rm{ x } }yz $ cho mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):4y-z+3=0 $ và mặt cầu $ \left ( { S } \right ):\left ( { x-4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+4 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =4. $ Có bao nhiêu điểm $ M $ thuộc mặt phẳng $ Oxy $ với tung độ nguyên, mà từ điểm $ M $ kẻ được tiếp tuyến với $ \left ( { S } \right ) $ đồng thời vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { P } \right ) $
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { S } \right ) $ có $ I\left ( { 4;-4;2 } \right );R=2 $
Gọi $ M\left ( { a;b;0 } \right ) $,
$ \overrightarrow{IM}=\left ( { a-4;b+4;-2 } \right ),\overset\rightarrow { u_{ d } }=\left ( { 0;4;-1 } \right ) \\ \left[ \overrightarrow{IM},\overset\rightarrow { u_{ d } } \right]=\left ( { -b+4;a-4;4\left ( { a-4 } \right ) } \right ) \\ d\left ( { I;d } \right )=\frac { \left | { \left[ \overrightarrow{IM},\overset\rightarrow { u_{ d } } \right] } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { u_{ d } } } \right | }=2\Leftrightarrow \left ( { b-4 } \right ) ^ { 2 } +17\left ( { a-4 } \right ) ^ { 2 } =68 $
Vì $ b\in \mathbb{Z} $, ta có $ \left ( { b-4 } \right ) ^ { 2 } \leq 68\Leftrightarrow -\sqrt { 68 }+4\leq b\leq \sqrt { 68 }+4 $
Suy ra 17 giá trị b, với mỗi b có được 2 giá trị a. Suy ra có 34 điểm M
