Trong không gian $ Oxyz $, cho mặt cầu $ (S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x+4y-6z+8=0 $. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục $ Oy $ và tiếp xúc với mặt cầu $ (S) $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Mặt cầu $ (S) $ có tâm $ I(1;-2;3) $, bán kính $ R=\sqrt { 6 } $ Mặt phẳng $ (P) $ chứa trục $ Oy $ có phương trình dạng $ Ax+Cz=0,A ^ { 2 } +C ^ { 2 } >0 $ Mặt phẳng $ (P) $ tiếp xúc với $ (S) $ nên ta có $ d(I;(P))=R\Leftrightarrow \frac { \|A+3C\| } { \sqrt { A ^ { 2 } +C ^ { 2 } } }=\sqrt { 6 } $ $ \Leftrightarrow (A+3C) ^ { 2 } =6\left ( { A ^ { 2 } +C ^ { 2 } } ight )\Leftrightarrow 5A ^ { 2 } -6AC-3C ^ { 2 } =0(*) $ Với $ C=0 $, từ $ (*) $ suy ra $ A=0 $: Vô lí, do đó $ C
eq 0 $ Ta có $ (*)\Leftrightarrow 5\left ( { \frac { A } { C } } ight ) ^ { 2 } -6\frac { A } { C }-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac { A } { C }=\frac { 3-2\sqrt { 6 } } { 5 } \ \frac { A } { C }=\frac { 3+2\sqrt { 6 } } { 5 } \ \end{array} ight. $ +Với $ \frac { A } { C }=\frac { 3-2\sqrt { 6 } } { 5 } $, chọn $ A=3-2\sqrt { 6 },C=5 $ ta có $ mp\left ( { P_{ 1 } } ight ):(3-2\sqrt { 6 })x+5z=0 $ +Với $ \frac { A } { C }=\frac { 3+2\sqrt { 6 } } { 5 } $, chọn $ A=3+2\sqrt { 6 },C=5 $ ta có $ mp\left ( { P_{ 2 } } ight ):(3+2\sqrt { 6 })x+5z=0 $

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 26