Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 27
Trong không gian $ Oxyz $, cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ B;AD=2AB=2BC $ và $ SC $ vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $. Nếu $ A(3;0;0);D(0;3;0);S(0;0;3) $ và $ C $ có hoành độ dương thì tung độ của $ B $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ E $ là trung điểm $ AD\Rightarrow E\left ( { \frac { 3 } { 2 };\frac { 3 } { 2 };0 } \right ) $.
Lại có $ \overrightarrow{AD}=(-3;3;0);AD\perp(SEC)\Rightarrow n=(1;-1;0) $ là một vector pháp tuyến của $ (SEC) $.
$ \Rightarrow $ Phương trình $ (SEC) $ là $ x-y=0\Rightarrow C(a;a;b)(a>0) $
$ \Rightarrow \overrightarrow{EC}=\left ( { a-\frac { 3 } { 2 };a-\frac { 3 } { 2 };b } \right );\overrightarrow{SC}=(a;a;b-3). $
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{SC}=0\\EC=\frac{1}{2}AD\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(a-\frac{3}{2}\right)a+\left(a-\frac{3}{2}\right)a+b(b-3)=0\\2\left(a-\frac{3}{2}\right)^2+b^2=\frac{9}{2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2a^2+b^2-3a-3b=0\\2a^2+b^2-6a=0\end{array}\right.$
$ \left \{ \begin{array}{l} a=b \\ 3a ^ { 2 } -6a=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=b \\ \left[ a=0(l) \\ a=2(tm) \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow C(2;2;2) $
Mặt khác $\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x_B=2-\frac{1}{2}(-3)=\frac{7}{2}\\y_B=2-\frac{1}{2}\cdot3=\frac{1}{2}\\z_B=2-\frac{1}{2}\cdot0=2\end{array}\right.\Rightarrow B\left(\frac{7}{2};\frac{1}{2};2\right)$.