Bài tập nâng cao · Bài 28
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 28
Trong không gian $ Oxyz $, cho bốn điểm $ A(2;1;4),B(2;5;4),C\left ( { \frac { -5 } { 2 };5;-1 } \right ) $ và $ D(-3;1;-4) $. Các điểm $ M,N $ thỏa mãn $ MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } =48 $ và $ ND ^ { 2 } =(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC})\cdot \overrightarrow{ND} $. Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $ MN $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M=(a;b;c) $ và $ N=(x;y;z) $
Theo đề bài ta có:
$ MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } =48\Leftrightarrow \|\overrightarrow{MA}\| ^ { 2 } +3\|\overrightarrow{MB}\| ^ { 2 } =48 \\ \Leftrightarrow (2-a) ^ { 2 } +(1-b) ^ { 2 } +(4-c) ^ { 2 } +3\left[ (2-a) ^ { 2 } +(5-b) ^ { 2 } +(4-c) ^ { 2 } \right]=48 \\ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-2b-8c+21+3\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-10b-8c+45 } \right )=48 \\ \Leftrightarrow 4\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } \right )-16a-32b-32c+108=0 \\ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-8b-8c+27=0 $
Vậy $ M $ thuộc mặt cầu $ (S) $ với tâm $ I=(2;4;4) $ và bán kính $ R=3(1) $.
$ ND ^ { 2 } =(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC})\cdot \overrightarrow{ND} \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =\left[ \left ( { \frac { -5 } { 2 }-x;5-y;-1-z } \right )+\left ( { \frac { -9 } { 2 };0;-5 } \right ) \right]\cdot (-3-x;1-y;-4-z) \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =(-7-x;5-y;-6-z)\cdot (-3-x;1-y;-4-z) \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =(-7-x)(-3-x)+(5-y)(1-y)+(-6-z)(-4-z) \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +6x-2y+8z+26=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +10x-6y+10z+50 \\ \Leftrightarrow -4x+4y-2z-24=0\Leftrightarrow 2x-2y+z+12=0 $
Vậy $ N $ thuộc mặt phẳng $ (P):2x-2y+z+12=0\quad (2). $
Ta có $ d(I,(P))=\frac { \|2\cdot 2-2\cdot 4+4+12\| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +(-2) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=4>R $
Vậy $ MN_{ min } $ khi $ M,N,I $ thẳng hàng, $ N $ là hình chiếu của $ I $ trên $ (P) $ và $ M\in $ đoạn $ NI $
$ MN_{ min } =NI-R=d(I,(P))-R=4-3=1. $
Theo đề bài ta có:
$ MA ^ { 2 } +3MB ^ { 2 } =48\Leftrightarrow \|\overrightarrow{MA}\| ^ { 2 } +3\|\overrightarrow{MB}\| ^ { 2 } =48 \\ \Leftrightarrow (2-a) ^ { 2 } +(1-b) ^ { 2 } +(4-c) ^ { 2 } +3\left[ (2-a) ^ { 2 } +(5-b) ^ { 2 } +(4-c) ^ { 2 } \right]=48 \\ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-2b-8c+21+3\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-10b-8c+45 } \right )=48 \\ \Leftrightarrow 4\left ( { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } \right )-16a-32b-32c+108=0 \\ \Leftrightarrow a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -4a-8b-8c+27=0 $
Vậy $ M $ thuộc mặt cầu $ (S) $ với tâm $ I=(2;4;4) $ và bán kính $ R=3(1) $.
$ ND ^ { 2 } =(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BC})\cdot \overrightarrow{ND} \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =\left[ \left ( { \frac { -5 } { 2 }-x;5-y;-1-z } \right )+\left ( { \frac { -9 } { 2 };0;-5 } \right ) \right]\cdot (-3-x;1-y;-4-z) \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =(-7-x;5-y;-6-z)\cdot (-3-x;1-y;-4-z) \\ \Leftrightarrow (-3-x) ^ { 2 } +(1-y) ^ { 2 } +(-4-z) ^ { 2 } =(-7-x)(-3-x)+(5-y)(1-y)+(-6-z)(-4-z) \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +6x-2y+8z+26=x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } +10x-6y+10z+50 \\ \Leftrightarrow -4x+4y-2z-24=0\Leftrightarrow 2x-2y+z+12=0 $
Vậy $ N $ thuộc mặt phẳng $ (P):2x-2y+z+12=0\quad (2). $
Ta có $ d(I,(P))=\frac { \|2\cdot 2-2\cdot 4+4+12\| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } +(-2) ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=4>R $
Vậy $ MN_{ min } $ khi $ M,N,I $ thẳng hàng, $ N $ là hình chiếu của $ I $ trên $ (P) $ và $ M\in $ đoạn $ NI $
$ MN_{ min } =NI-R=d(I,(P))-R=4-3=1. $