Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 29
Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, cho điểm $ A(2;1;0),B(0;3;-2),C(-5;5;-10) $. Các điểm $ M,N $ lần lượt thỏa mãn đẳng thức $ \overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})=4AB ^ { 2 } -MB ^ { 2 } $ và $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CN}=0 $. Khoảng cách ngắn nhất của $ MN $ là
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $ \overrightarrow{MA}(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB})=4AB ^ { 2 } -MB ^ { 2 } \Leftrightarrow (\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) ^ { 2 } =4AB ^ { 2 } \Leftrightarrow MI=AB,\,\,I(1:2;-1) $
Suy ra $ M\in \left ( { S } \right ) $ tâm $ I $ bán kính $ AB=2\sqrt { 3 } $
$ •\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CN}=0\Leftrightarrow N\in (\alpha ):x-y+z+20=0 \\ d(I,(\alpha ))=6\sqrt { 3 }>AB \\ \Rightarrow MN_{ min } =d(I,(\alpha ))-AB=4\sqrt { 3 } $
Suy ra $ M\in \left ( { S } \right ) $ tâm $ I $ bán kính $ AB=2\sqrt { 3 } $
$ •\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CN}=0\Leftrightarrow N\in (\alpha ):x-y+z+20=0 \\ d(I,(\alpha ))=6\sqrt { 3 }>AB \\ \Rightarrow MN_{ min } =d(I,(\alpha ))-AB=4\sqrt { 3 } $