Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 30
Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho 4 điểm $ A(2;3;-1),B(0;4;2),C(1;2;-1),D(7;2;1) $. Đặt $ T=8\|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\|+12\|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\| $, trong đó $ N $ di chuyển trên trục $ Ox $. Giá trị nhỏ nhất của $ T $ thuộc khoảng nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Lấy điểm $ I $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=0\Leftrightarrow I(1;3;0);J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{JC}+\overrightarrow{JD}=0\Leftrightarrow J(4;2;0) $.
Ta thấy, $ I,J\in (Oxy) $ và cùng phía so với $ Ox $. Gọi $ I' $ đối xứng với $ I $ qua $ Ox\Rightarrow I'(1;-3;0) $. Khi đó, $ T=8\|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\|+12\|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\|=24(NI+NJ)=24\left ( { NI'+NJ } \right )\geq 24I'J=24\sqrt { 34 } $.
Ta thấy, $ I,J\in (Oxy) $ và cùng phía so với $ Ox $. Gọi $ I' $ đối xứng với $ I $ qua $ Ox\Rightarrow I'(1;-3;0) $. Khi đó, $ T=8\|\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}\|+12\|\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\|=24(NI+NJ)=24\left ( { NI'+NJ } \right )\geq 24I'J=24\sqrt { 34 } $.