Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 31

Mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right )$: $(x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =36$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R_{ 1 } =6$.
Mặt cầu $\left ( { S_{ 2 } } \right ):(x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =49$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R_{ 2 } =7$.
Suy ra 2 mặt cầu trên đồng tâm. Dễ kiểm tra được điểm $A(7;2;-5)$ nằm ngoài $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ và nằm trong $\left ( { S_{ 2 } } \right )$.
Gọi $H$ là giao điểm của đường thẳng $IA$ với mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ ($H$ không thuộc đoạn $IA$).
Diện tích tam giác $ABC$ lớn nhất khi $\Delta$ tiếp xúc với $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ tại tiếp điểm $H$.
Ta có: $\overrightarrow{IA}=(6;0;-8)\Rightarrow IA=10$.
Phương trình đường thẳng $IA:\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=2 \\ z=3-4t \\ \end{array} ,H\in AI\Rightarrow H(1+3t;2;3-4t) \end{array} \right.$.
$H\in \left ( { S_{ 1 } } \right )\Rightarrow (1+3t-1) ^ { 2 } +(2-2) ^ { 2 } +(3-4t-3) ^ { 2 } =36\Leftrightarrow t ^ { 2 } =\frac { 36 } { 25 }\Leftrightarrow t=\pm\frac { 6 } { 5 }.$
Với $t=\frac { 6 } { 5 }$ điểm $H\left ( { \frac { 23 } { 5 };2;\frac { -9 } { 5 } } \right )\Rightarrow AH=16>10=IA\Rightarrow H$ là điểm cần tìm.
Trong tam giác $BIH$ vuông tại $H$ có: $BH=\sqrt { BI ^ { 2 } -HI ^ { 2 } }=\sqrt { 7 ^ { 2 } -6 ^ { 2 } }=\sqrt { 13 }\Rightarrow BC=2\sqrt { 3 }$.
Diện tích lớn nhất của tam giác $ABC$ là: $S=\frac { 1 } { 2 }AH\cdot BC=\frac { 1 } { 2 }\cdot 16\cdot 2\sqrt { 13 }=16\sqrt { 13 }$.