Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-8;-1;6),B(1;2;3),C(16;3;5)$. Điểm $M$ di động trên mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right ):(x-4) ^ { 2 } +(y-3) ^ { 2 } +(z+3) ^ { 2 } =49$ sao cho tam giác $MAB$ có $2sin \widehat { MAB }=\sin \widehat { MBA }$. Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $CM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $I_{ 1 } (4;3;-3),R_{ 1 } =7$ là tâm và bán kính của $\left ( { S_{ 1 } } \right )$.
Xét tam giác $MAB$ ta có $2sin \widehat { MAB }=\sin \widehat { MBA }\Leftrightarrow 2\frac { MB } { 2R }=\frac { MA } { 2R }\Leftrightarrow MA=2MB$.
Gọi $M(x;y;z)$ khi đó
$\sqrt { (x+8) ^ { 2 } +(y+1) ^ { 2 } +(z-6) ^ { 2 } }=2\sqrt { (x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } } \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -8x-6y-4z-15=0.$
Suy ra điểm $M$ thuộc mặt cầu $\left ( { S_{ 2 } } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -8x-6y-4z-15=0$ có tâm $I_{ 2 } (4;3;2)$, $R_{ 2 } =2\sqrt { 11 }$
Do đó $M\in \left ( { S_{ 1 } } \right )\cap\left ( { S_{ 2 } } \right )$.
Mặt khác hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ tâm $H$ nằm trên mặt phẳng $Oxy$ (vì hiệu của hai phương trình mặt cầu là $z=0$).
Suy ra $H$ là hình chiếu của $I_{ 2 } (4;3;2)$ lên mặt phẳng $Oxy$ nên $H(4;3;0)$ và $MH=\sqrt { I_{ 2 } M ^ { 2 } -I_{ 2 } H ^ { 2 } }=2\sqrt { 10 }$.
Do đó $M$ nằm trên đường tròn tâm $H$ bán kính $r=2\sqrt { 10 }$.
Gọi $C ^ { ' }$ là hình chiếu của $C$ trên $Oxy$ suy ra $C ^ { ' } (16;3;0)$.
Ta có $HC ^ { ' } =12$ nên $CM_{ min } =\sqrt { 5 ^ { 2 } +(12-2\sqrt { 10 }) ^ { 2 } }=7,564\in (7;8)$.
