Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(-8;-1;6),B(1;2;3)$ và $C(-4;14;\sqrt { 11 })$. Điểm $M$ di động trên mặt cầu $\left ( { S_{ 1 } } \right ):(x-4) ^ { 2 } +(y-3) ^ { 2 } +(z+3) ^ { 2 } =49$ sao cho tam giác $MAB$ có $2sin \widehat { MAB }=\sin \widehat { MBA }$. Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng $CM$ thuộc khoảng nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\left ( { S_{ 1 } } \right )$ có tâm $I(4;3;-3)$, bán kính $R=7$. $+S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }MA\cdot AB\cdot \sin \widehat { MAB }=\frac { 1 } { 2 }MB\cdot AB\cdot \sin \widehat { MBA }$ và $2sin \widehat { MAB }=\sin \widehat { MBA }\Rightarrow MA=2MB$.
Gọi $M(x;y;z)$, từ $MA=2MB\Rightarrow (x+8) ^ { 2 } +(y+1) ^ { 2 } +(z-6) ^ { 2 } =4\left[ (x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } \right]$ $\to$ điểm $M$ di động trên mặt cầu $\left ( { S_{ 2 } } \right ):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -8x-6y-4z-9=0$.
Từ đó suy ra điểm $M$ di động trên đường tròn $(C)=\left ( { S_{ 1 } } \right )\cap\left ( { S_{ 2 } } \right )$, nằm trên $(Oxy):z=0$ và có tâm $H(4;3;0)$, bán kính $r=\sqrt { 49-3 ^ { 2 } }=2\sqrt { 10 }$.
Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ lên $(Oxy)\Rightarrow K(-4;14;0)$ và $CK=\sqrt { 11 }$.
Ta có: $CM=\sqrt { CK ^ { 2 } +MK ^ { 2 } }\Rightarrow CM_{ min } \Leftrightarrow MK_{ min }$ và $MK_{ min } =HK-r=\sqrt { 185 }-2\sqrt { 10 }$.
Vậy $CM_{ min } \approx 7,27\in (7;8)$.
