Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { 3;-2;6 } \right ),B\left ( { 0;1;0 } \right )$ và mặt cầu $\left ( { S } \right ):\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right ) ^ { 2 } =25$. Mặt phẳng $\left ( { P } \right ):ax+by+cz-2=0$ đi qua $A,B$ và cắt $\left ( { S } \right )$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính $T=a+b+c$
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 1;2;3 } \right )$ và bán kính $R=5$
Ta có $\left \{ \begin{array}{l} A\in \left ( { P } \right ) \\ B\in \left ( { P } \right ) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} 3a-2b+6c-2=0 \\ b-2=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=2-2c \\ b=2 \end{array} \right.$
Bán kính của đường tròn giao tuyến là $r=\sqrt { R ^ { 2 } -\left[ d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }=\sqrt { 25-\left[ d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right ) \right] ^ { 2 } }$
Bán kính của đường tròn giao tuyến nhỏ nhất khi và chỉ khi $d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right )$ lớn nhất
Ta có $d\left ( { I,\left ( { P } \right ) } \right )=\frac { \left | { a+2b+3c-2 } \right | } { \sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } }$ $=\frac { \left | { 2-2c+4+3c-2 } \right | } { \sqrt { \left ( { 2-2c } \right ) ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +c ^ { 2 } } }$ $=\sqrt { \frac { \left ( { c+4 } \right ) ^ { 2 } } { 5c ^ { 2 } -8c+8 } }$
Xét $f\left ( { c } \right )=\sqrt { \frac { \left ( { c+4 } \right ) ^ { 2 } } { 5c ^ { 2 } -8c+8 } }$ $\Rightarrow f'\left ( { c } \right )=\frac { -48c ^ { 2 } -144c+192 } { \left ( { 5c ^ { 2 } -8c+8 } \right ) ^ { 2 } \sqrt { \frac { \left ( { c+4 } \right ) ^ { 2 } } { 5c ^ { 2 } -8c+8 } } }$
$f'\left ( { c } \right )=0\Leftrightarrow \left[ c=1 \\ c=-4 \right.$
Bảng biến thiên
Vậy $d\left ( { I;\left ( { P } \right ) } \right )$ lớn nhất bằng $\sqrt { 5 }$ khi và chỉ khi $c=1\Rightarrow a=0,b=2\Rightarrow a+b+c=3$.
