Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left ( { S } \right ):\,\,\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right ) ^ { 2 } =9$, điểm $A\left ( { 0\,;\,0\,;\,2 } \right )$. Mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ qua $A$ và cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ theo thiết diện là hình tròn $\left ( { C } \right )$ có diện tích nhỏ nhất, phương trình $\left ( { P } \right )$ là:

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image1004.png] Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 1\,;\,2\,;\,3 } \right )$, bán kính $R=3$. Ta có $IA=\sqrt { 6 } < R$ $\Rightarrow A$ nằm trong mặt cầu $\left ( { S } \right )$. Do đó mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ qua $A$ luôn cắt mặt cầu $\left ( { S } \right )$ theo thiết diện là hình tròn $\left ( { C } \right )$ có bán kính $r=\sqrt { R ^ { 2 } -IH ^ { 2 } }$ (với $H$ là hình chiếu của $I\left ( { 1\,;\,2\,;\,3 } \right )$ trên $\left ( { P } \right )$). Ta luôn có $IA\geq IH\Rightarrow \sqrt { R ^ { 2 } -IH ^ { 2 } }\geq \sqrt { R ^ { 2 } -IA ^ { 2 } }\Rightarrow r\geq \sqrt { R ^ { 2 } -IA ^ { 2 } }$. Diện tích của hình tròn $\left ( { C } \right )$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tức là $r=\sqrt { R ^ { 2 } -IA ^ { 2 } }\Leftrightarrow H\equiv A$. Khi đó $IA\perp\left ( { P } \right )$ $\Rightarrow$ mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ nhận $\overrightarrow{IA}=\left ( { -1\,;\,-2\,;\,-1 } \right )$ làm một VTPT. Vậy phương trình mặt phẳng $\left ( { P } \right )$: $-x-2y-\left ( { z-2 } \right )=0\Leftrightarrow x+2y+z-2=0.$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 35