Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):\left ( { x-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-3 } \right ) ^ { 2 } =27$. Gọi $\left ( { \alpha } \right )$ là mặt phẳng đi qua 2 điểm $A\left ( { 0;0;-4 } \right )$, $B\left ( { 2;0;0 } \right )$ và cắt $\left ( { S } \right )$ theo giao tuyến là đường tròn $\left ( { C } \right )$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $\left ( { S } \right )$, là hình tròn $\left ( { C } \right )$ có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng $\left ( { \alpha } \right )$ có phương trình dạng $ax+by-z+c=0$, khi đó $a-b+c$ bằng:
Xem lời giải
Lời giải
+ Vì $\left ( { \alpha } \right )$ qua A ta có: $-(-4)+c=0\Rightarrow c=-4$.
+ Vì $\left ( { \alpha } \right )$ qua B ta có: $2a+c=0\Rightarrow a=2$.
$\Rightarrow$ $\left ( { \alpha } \right )$: $2x+by-z-4=0$.
+ Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left ( { 1;-2;3 } \right )$, $R=3\sqrt { 3 }$.
+ Chiều cao khối nón: $h=d_{ \left ( { I,\alpha } \right ) } =\frac { \left | { 2-2b-3-4 } \right | } { \sqrt { 4+b ^ { 2 } +1 } }=\frac { \left | { 2b+5 } \right | } { \sqrt { b ^ { 2 } +5 } }$.
+Bán kính đường tròn: $r=\sqrt { R ^ { 2 } -h ^ { 2 } }=\sqrt { 27-\left ( { \frac { \left | { 2b+5 } \right | } { \sqrt { b ^ { 2 } +5 } } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt { 27-\frac { \left ( { 2b+5 } \right ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } +5 } }$.
+ Thể tích khối nón: $V=\frac { 1 } { 3 }\pi r ^ { 2 } h=\frac { 1 } { 3 }\pi \left ( { 27-\frac { \left ( { 2b+5 } \right ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } +5 } } \right )\frac { \left | { 2b+5 } \right | } { \sqrt { b ^ { 2 } +5 } }$
+ Tới đây ta có thể Thử các trường hợp đáp án.
Hoặc ta làm tự luận như sau:
Đặt $t=\frac { \left | { 2b+5 } \right | } { \sqrt { b ^ { 2 } +5 } }$ và xét hàm số $f\left ( { t } \right )=\left ( { 27-t ^ { 2 } } \right )t$ trên đoạn $\left[ 0;3\sqrt { 3 } \right]$.
Ta có: $f'\left ( { t } \right )=27-3t ^ { 2 }$; $f'\left ( { t } \right )=0\Leftrightarrow \left[ t=3 \\ t=-3\left ( { l } \right ) \right.$. Ta có bảng biến thiên:
Do đó thể tích khối nón lớn nhất khi và chỉ khi $t=3\Leftrightarrow \left ( { \frac { \left | { 2b+5 } \right | } { \sqrt { b ^ { 2 } +5 } } } \right ) ^ { 2 } =3 ^ { 2 } \Leftrightarrow 4b ^ { 2 } +20b+25=9b ^ { 2 } +45$
$\Leftrightarrow 5b ^ { 2 } -20b+20=0\Leftrightarrow b=2$.
Vì vậy $a-b+c=-4$.
