Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { \frac { 5+\sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 7-\sqrt { 3 } } { 2 };3 } \right )$, $B\left ( { \frac { 5-\sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 7+\sqrt { 3 } } { 2 };3 } \right )$ và mặt cầu $(S):(x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =6$. Xét mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, $\left ( { a,b,c,d\in \mathbb{Z}:d

Question

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left ( { \frac { 5+\sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 7-\sqrt { 3 } } { 2 };3 } \right )$, $B\left ( { \frac { 5-\sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 7+\sqrt { 3 } } { 2 };3 } \right )$ và mặt cầu $(S):(x-1) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =6$. Xét mặt phẳng $(P):ax+by+cz+d=0$, $\left ( { a,b,c,d\in \mathbb{Z}:d < -5 } \right )$ là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm $A,$ $B$. Gọi $(N)$ là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu $(S)$ và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của $(P)$ và $(S)$. Tính giá trị của $T=\left | { a+b+c+d } \right |$ khi thiết diện qua trục của hình nón $(N)$ có diện tích lớn nhất.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD22. PHUONG TRINH MAT CAU/F. BAI TAP NANG CAO/image361.png] Mặt cầu $(S)$ có tâm $I\left ( { 1;2;3 } ight )$, bán kính $R=\sqrt { 6 }$. Có $IA=IB=\sqrt { 6 }$ nên $A,B$ thuộc mặt cầu $(S)$. $\overrightarrow{AB}=\left ( { -\sqrt { 3 };\sqrt { 3 };0 } ight )=-\sqrt { 3 }\left ( { 1;-1;0 } ight )=-\sqrt { 3 }\overrightarrow{a}$, $M\left ( { \frac { 5 } { 2 };\frac { 7 } { 2 };3 } ight )$ là trung điểm của $AB$. Gọi $\overrightarrow{a}=(1;-1;0)$ và $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ với $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } >0$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ Vì $A,B\in (P)$ nên có $\left \{ \begin{array}{l} I\in (P) \ \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \frac { 5 } { 2 }a+\frac { 7 } { 2 }b+3c+d=0 \ a-b=0 \end{array} ight.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} d=-6a-3c \ a=b \end{array} ight.$. Gọi $h=d\left ( { I,(P) } ight )$, $(C)=(P)\cap(S)$, $r$ là bán kính đường tròn $(C)$. $r=\sqrt { R ^ { 2 } -h ^ { 2 } }=\sqrt { 6-h ^ { 2 } }$. Diện tích thiết diện qua trục của hình nón $(N)$. $S=\frac { 1 } { 2 }.h.2r=h.\sqrt { 6-h ^ { 2 } }\leq \frac { h ^ { 2 } +6-h ^ { 2 } } { 2 }=3$. $maxS=3$ khi $h ^ { 2 } =6-h ^ { 2 } \Rightarrow h=\sqrt { 3 }$. $h=d\left ( { I,(P) } ight )\Leftrightarrow \sqrt { 3 }=\frac { \left | { a+2b+3c+d } ight | } { \sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } }$ $\Leftrightarrow a ^ { 2 } =c ^ { 2 } \Leftrightarrow \left[ a=c \ a=-c ight.$. Nếu $a=c$ thì $b=a;d=-9a$ và $(P):ax+ay+az-9a=0\Leftrightarrow x+y+z-9=0$ (nhận). Nếu $a=-c$ thì $b=a;d=-3a$ và $(P):ax+ay-az-3a=0\Leftrightarrow x+y-z-3=0$ (loại). Vây $T=\left | { a+b+c+d } ight |=6$.

Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 37