Bài tập nâng cao · Bài 38
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 38
Trong không gian ${ \rm{ O } }{ \rm{ x } }yz$ cho mặt phẳng (P): $x-y+2z-1=0$ và các điểm $A\left ( { 0;1;1 } \right )\,;\,B\left ( { 1;0;0 } \right )$ ($A$ và $B$ nằm trong mặt phẳng $\left ( { P } \right )$) và mặt cầu $\left ( { S } \right ):\,\,\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =4$. $CD$ là đường kính thay đổi của $\left ( { S } \right )$ sao cho $CD$ song song với mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ và bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một tứ diện. Giá trị lớn nhất của tứ diện đó là
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $\left ( { S } \right )$ có tâm $I\left ( { 2;-1;2 } \right )$, mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ có VTPT $\overrightarrow{n}=(1;-1;2)$. Gọi điểm $C\left ( { x;y;z } \right )$, ta có $C\in (S)$ nên $\,\left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y+1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =4$ (1).
Do $CD$ là đường kính của mặt cầu (S) nên $I$ là trung điểm của $CD$, suy ra $D\left ( { 4-x;-y-2;4-z } \right )$.
Mà theo đề có $CD$ song song với mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ nên
$\overrightarrow{IC}\perp\overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\,\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0$ (2).
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left ( { 1;-1;-1 } \right );\,\,\overrightarrow{AC}=\left ( { x;y-1;z-1 } \right );\overrightarrow{AD}=\left ( { 4-x;-y-3;3-z } \right )$.
$\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left ( { 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 } \right )$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).\left ( { -2x+4z-4 } \right )+(-1).(-4x-4y+4) \\ \,\,\,\, =6x+6y-6\,.$
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là: $V=\frac { 1 } { 6 }\left | { \overrightarrow{AB}\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right] } \right |=\left | { x+y-1 } \right |\,.$
Đặt $\left \{ \begin{array}{l} x-2=a \\ y+1=b \\ z-2=c \end{array} \right.$. Từ (1) và (2) ta có hệ: $\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =4 \\ a-b+2c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a-b=-2c \\ ab=\frac { 4-5c ^ { 2 } } { 2 } \end{array} \right.$
$V=\left | { x+y-1 } \right |\,=\left | { x-2+y+1 } \right |=\left | { a+b } \right |=\sqrt { (a-b) ^ { 2 } +4ab } \\ \,\,\,\,\,=\sqrt { 4c ^ { 2 } +2(4-5c ^ { 2 } ) }=\sqrt { 8-6c ^ { 2 } }\leq 2\sqrt { 2 }.$
Vậy GTLN của $V$ là $2\sqrt { 2 }$ khi
$\left \{ \begin{array}{l} z-2=0 \\ x-2=y+1 \\ \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ x=2+\sqrt { 2 };y=-1+\sqrt { 2 };z=2 \\ x=2-\sqrt { 2 };y=-1-\sqrt { 2 };z=2 \right.$.
Do $CD$ là đường kính của mặt cầu (S) nên $I$ là trung điểm của $CD$, suy ra $D\left ( { 4-x;-y-2;4-z } \right )$.
Mà theo đề có $CD$ song song với mặt phẳng $\left ( { P } \right )$ nên
$\overrightarrow{IC}\perp\overrightarrow{n}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}.\,\overrightarrow{n}=0\Leftrightarrow x-2-(y+1)+2(z-2)=0$ (2).
Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left ( { 1;-1;-1 } \right );\,\,\overrightarrow{AC}=\left ( { x;y-1;z-1 } \right );\overrightarrow{AD}=\left ( { 4-x;-y-3;3-z } \right )$.
$\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=\left ( { 2y+4z-6;-2x+4z-4;-4x-4y+4 } \right )$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right]=2y+4z-6+(-1).\left ( { -2x+4z-4 } \right )+(-1).(-4x-4y+4) \\ \,\,\,\, =6x+6y-6\,.$
Thể tích khối tứ diện $ABCD$ là: $V=\frac { 1 } { 6 }\left | { \overrightarrow{AB}\left[ \overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD} \right] } \right |=\left | { x+y-1 } \right |\,.$
Đặt $\left \{ \begin{array}{l} x-2=a \\ y+1=b \\ z-2=c \end{array} \right.$. Từ (1) và (2) ta có hệ: $\left \{ \begin{array}{l} a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =4 \\ a-b+2c=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} a-b=-2c \\ ab=\frac { 4-5c ^ { 2 } } { 2 } \end{array} \right.$
$V=\left | { x+y-1 } \right |\,=\left | { x-2+y+1 } \right |=\left | { a+b } \right |=\sqrt { (a-b) ^ { 2 } +4ab } \\ \,\,\,\,\,=\sqrt { 4c ^ { 2 } +2(4-5c ^ { 2 } ) }=\sqrt { 8-6c ^ { 2 } }\leq 2\sqrt { 2 }.$
Vậy GTLN của $V$ là $2\sqrt { 2 }$ khi
$\left \{ \begin{array}{l} z-2=0 \\ x-2=y+1 \\ \left ( { x-2 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y-1 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { z-2 } \right ) ^ { 2 } =4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ x=2+\sqrt { 2 };y=-1+\sqrt { 2 };z=2 \\ x=2-\sqrt { 2 };y=-1-\sqrt { 2 };z=2 \right.$.