Bài tập nâng cao · Bài 39
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 39
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(0;1;2)$ và song song với mặt phẳng $(Oxy)$. Gọi $B,C$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên trục $Oy,Oz;E$ là trung điểm của đoạn $AB$ và $I$ là điểm di động trên cạnh $OC$. Tam giác đều $ACD$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ đồng thời điểm $D$ có hoành độ dương. Khi diện tích tam giác $DEI$ đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính độ dài đoạn thẳng $EI$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình mặt phẳng $(P):z=2$.
Ta có: $B(0;1;0),C(0;0;2),E(0;1;1),I\in OC\Rightarrow I(0;0;t),t\in [0;2]$.
Ta có $\Delta ACD$ đều nằm trong $(P)$. Gọi $D(x,y,2),(x>0)$, có $DA=AC=DC$ suy ra:
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } =1 \\ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ y=\frac { 1 } { 2 } \\ \end{array} \Rightarrow D\left ( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 1 } { 2 };2 } \right ). \end{array} \right. \end{array} \right.$
Ta có: $\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};t-1\right),\overrightarrow{DI}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};t-2\right)\Rightarrow [\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DI}]=\left(\frac{t-3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1);\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Suy ra: $S_{ \Delta DEI } =\frac { 1 } { 2 }\sqrt { \frac { (t-3) ^ { 2 } +3(t-1) ^ { 2 } +3 } { 4 } }=\frac { 1 } { 4 }\sqrt { 4t ^ { 2 } -12t+15 },t\in [0;2]$
Ta thấy $minS_{ \Delta DEI } =\frac { \sqrt { 6 } } { 4 }\Leftrightarrow t=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow I\left ( { 0;0;\frac { 3 } { 2 } } \right )\Rightarrow EI=\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$.
Ta có: $B(0;1;0),C(0;0;2),E(0;1;1),I\in OC\Rightarrow I(0;0;t),t\in [0;2]$.
Ta có $\Delta ACD$ đều nằm trong $(P)$. Gọi $D(x,y,2),(x>0)$, có $DA=AC=DC$ suy ra:
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x ^ { 2 } +(y-1) ^ { 2 } =1 \\ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ y=\frac { 1 } { 2 } \\ \end{array} \Rightarrow D\left ( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 };\frac { 1 } { 2 };2 } \right ). \end{array} \right. \end{array} \right.$
Ta có: $\overrightarrow{DE}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};t-1\right),\overrightarrow{DI}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};t-2\right)\Rightarrow [\overrightarrow{DE};\overrightarrow{DI}]=\left(\frac{t-3}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}(t-1);\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
Suy ra: $S_{ \Delta DEI } =\frac { 1 } { 2 }\sqrt { \frac { (t-3) ^ { 2 } +3(t-1) ^ { 2 } +3 } { 4 } }=\frac { 1 } { 4 }\sqrt { 4t ^ { 2 } -12t+15 },t\in [0;2]$
Ta thấy $minS_{ \Delta DEI } =\frac { \sqrt { 6 } } { 4 }\Leftrightarrow t=\frac { 3 } { 2 }\Rightarrow I\left ( { 0;0;\frac { 3 } { 2 } } \right )\Rightarrow EI=\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$.