Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left ( { 0;0;10 } \right ),B\left ( { 3;4;6 } \right ).$ Xét các điểm $M$ thay đổi sao cho tam giác $OAM$ không có góc tù và có diện tích bằng $15.$ Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $MB$ thuộc khoảng nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $S_{ OAM } =\frac { 1 } { 2 }OA.d\left ( { M;\,OA } \right )=15\Rightarrow d\left ( { M;\,OA } \right )=3.$
Suy ra: $M$ di động trên mặt trụ, bán kính bằng $3,$ trục là $OA.$
Xét điểm $D$ như hình vẽ, $\left \{ \begin{array}{l} HA.HO=HD ^ { 2 } =9 \\ HA+HO=10 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} HA=1 \\ HO=9 \end{array} \right..$
Vì $\widehat { AMO }\leq 90$ nên giới hạn của $M$ là hai mặt trụ với trục $AH$ và $FO.$
Vì hình chiếu của $B$ cách $H$ gần hơn nên $BM_{ min } =\sqrt { 2 ^ { 2 } +3 ^ { 2 } }=\sqrt { 13 }.$
