Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 41

Ta có $A,B$ cùng phía với $(P)$ và $d(A,(P))=3d(B,(P))=3$.
Gọi $A ^ { ' } ,B ^ { ' }$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ lên $(P)\Rightarrow A ^ { ' } (-1;2;1),B ^ { ' } (-1;-2;1)\Rightarrow A ^ { ' } B ^ { ' } =4$.
Gọi $I,I ^ { ' }$ lần lượt là trung điểm của $AB,A ^ { ' } B ^ { ' } \Rightarrow II ^ { ' } \perp(P),I(-1;0;3),I ^ { ' } (-1;0;1),II ^ { ' } =2=I ^ { ' } B ^ { ' }$.
Tam giác $MAB$ vuông tại $M\Rightarrow M$ thuộc đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $I$, bán kính $IA=IB=\sqrt { 5 }$ với mặt phẳng $(P)$.
Đường tròn giao tuyến có tâm $I ^ { ' }$, bán kính $r=IM=\sqrt { R ^ { 2 } -I ^ { ' } I ^ { 2 } }=1\Rightarrow B ^ { ' }$ nằm ngoài đường tròn này.
$S_{MAB}=\frac{1}{2}AB\cdot d(M,AB)\Leftrightarrow (S_{MAB})_{\min}\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}M=A'B'\cap (I',r)\\\overrightarrow{I'M}+\overrightarrow{MB'}=\overrightarrow{I'B'}\end{array}\right.\Leftrightarrow M$ là trung điểm của $I'B'$.
Như vậy, ta được $M(-1;-1;1)\Rightarrow a ^ { 3 } +b ^ { 3 } +c ^ { 3 } =-1$.