Bài tập nâng cao · Bài 42
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 42
Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD\cdot A ^ { ' } B ^ { ' } C ^ { ' } D ^ { ' }$ có $A(0;0;0)$, $B(3;0;0),D(0;3;0),A ^ { ' } (0;0;3)$. Mặt cầu $(S)$ có phương trình dạng $x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2ax-2by-2cz+d=0$, tiếp xúc với hai đường thẳng $B ^ { ' } D ^ { ' }$ và $BC ^ { ' }$. Khi thể tích khối cầu $(S)$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của $d$ bằng?
Xem lời giải
Lời giải
$B=(3;0;0)\Rightarrow B ^ { ' } =(3;0;3);D=(0;3;0)\Rightarrow D ^ { ' } =(0;3;3)$ và $C=(3;3;0)\Rightarrow C ^ { ' } =(3;3;3)$
Do $V_{ S } =\frac { 4 } { 3 }\pi R_{ S } ^ { 3 }$ nên đề $V_{ Smin }$ thì $R_{ Smin }$, mặt khác mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $B ^ { ' } D ^ { ' }$ và $BC ^ { ' }$ nên $R_{ Smin } =\frac { d\left[ \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right ),\left ( { BC ^ { ' } } \right ) \right] } { 2 }$
*Viết phương trình đường thẳng $B ^ { ' } D ^ { ' }$ và $BC ^ { ' }$
Đường thẳng $\left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )$ đi qua điểm $B ^ { ' }$ và có $\overset\rightarrow { u_{ B ^ { ' } D ^ { ' } } }=\overset\rightarrow { B ^ { ' } D ^ { ' } }=(-3;3;0)$
$\Rightarrow \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-3t \\ y=3t\quad (t\in \mathbb{R}) \\ z=3 \\ \end{array} \end{array} \right.$
Đường thằng $\left ( { BC ^ { ' } } \right )$ đi qua điếm $B$ và có $\overset\rightarrow { u_{ BC ^ { ' } } }=\overset\rightarrow { BC ^ { ' } }=(0;3;3)$
$\Rightarrow \left ( { BC ^ { ' } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3 \\ y=3t ^ { ' } \quad \left ( { t ^ { ' } \in \mathbb{R} } \right ) \\ z=3t ^ { ' } \\ \end{array} \end{array} \right.$
*Viết đoạn $MN$ vuông góc chung của $\left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )$ và $\left ( { BC ^ { ' } } \right )$
Gọi $M\in \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )\Rightarrow M=(3-3t;3t;3),N\in \left ( { BC ^ { ' } } \right )\Rightarrow N=\left ( { 3;3t ^ { ' } ;3t ^ { ' } } \right )$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left ( { 3t;3t ^ { ' } -3t;3t ^ { ' } -3 } \right ) \\ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} MN\perp(B ^ { ' } D ^ { ' } ) \\ MN\perp(BC ^ { ' } ) \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}\cdot \overset\rightarrow { B ^ { ' } D ^ { ' } }=0 \\ \overrightarrow{MN}\cdot \overset\rightarrow { BC ^ { ' } }=0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -t+t ^ { ' } -t=0 \\ t ^ { ' } -t+t ^ { ' } -1=0 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t=\frac { 1 } { 3 } \\ t ^ { ' } =\frac { 2 } { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \\ \Rightarrow M=(2;1;3),\ N=(3;2;1)$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$ thì $I$ là trung điếm $MN\Rightarrow I=\left ( { \frac { 5 } { 2 };\frac { 3 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )$ và bán kính mặt cầu
$R_{ S } =\frac { MN } { 2 }=\frac { \sqrt { (3-2) ^ { 2 } +(2-1) ^ { 2 } +(2-3) ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac { 5 } { 2 } \\ b=\frac { 3 } { 2 }{ \rm{ v } }{ \rm{ à } }R_{ S } =\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }=\sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d }\Leftrightarrow \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }=\sqrt { \left ( { \frac { 5 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -d } \\ c=\frac { 5 } { 2 } \\ \end{array} \Leftrightarrow d=14. \end{array} \right.$.
Do $V_{ S } =\frac { 4 } { 3 }\pi R_{ S } ^ { 3 }$ nên đề $V_{ Smin }$ thì $R_{ Smin }$, mặt khác mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với hai đường thẳng $B ^ { ' } D ^ { ' }$ và $BC ^ { ' }$ nên $R_{ Smin } =\frac { d\left[ \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right ),\left ( { BC ^ { ' } } \right ) \right] } { 2 }$
*Viết phương trình đường thẳng $B ^ { ' } D ^ { ' }$ và $BC ^ { ' }$
Đường thẳng $\left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )$ đi qua điểm $B ^ { ' }$ và có $\overset\rightarrow { u_{ B ^ { ' } D ^ { ' } } }=\overset\rightarrow { B ^ { ' } D ^ { ' } }=(-3;3;0)$
$\Rightarrow \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3-3t \\ y=3t\quad (t\in \mathbb{R}) \\ z=3 \\ \end{array} \end{array} \right.$
Đường thằng $\left ( { BC ^ { ' } } \right )$ đi qua điếm $B$ và có $\overset\rightarrow { u_{ BC ^ { ' } } }=\overset\rightarrow { BC ^ { ' } }=(0;3;3)$
$\Rightarrow \left ( { BC ^ { ' } } \right ):\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=3 \\ y=3t ^ { ' } \quad \left ( { t ^ { ' } \in \mathbb{R} } \right ) \\ z=3t ^ { ' } \\ \end{array} \end{array} \right.$
*Viết đoạn $MN$ vuông góc chung của $\left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )$ và $\left ( { BC ^ { ' } } \right )$
Gọi $M\in \left ( { B ^ { ' } D ^ { ' } } \right )\Rightarrow M=(3-3t;3t;3),N\in \left ( { BC ^ { ' } } \right )\Rightarrow N=\left ( { 3;3t ^ { ' } ;3t ^ { ' } } \right )$
$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\left ( { 3t;3t ^ { ' } -3t;3t ^ { ' } -3 } \right ) \\ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} MN\perp(B ^ { ' } D ^ { ' } ) \\ MN\perp(BC ^ { ' } ) \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}\cdot \overset\rightarrow { B ^ { ' } D ^ { ' } }=0 \\ \overrightarrow{MN}\cdot \overset\rightarrow { BC ^ { ' } }=0 \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -t+t ^ { ' } -t=0 \\ t ^ { ' } -t+t ^ { ' } -1=0 \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t=\frac { 1 } { 3 } \\ t ^ { ' } =\frac { 2 } { 3 } \\ \end{array} \end{array} \right. \\ \Rightarrow M=(2;1;3),\ N=(3;2;1)$
Gọi $I$ là tâm mặt cầu $(S)$ thì $I$ là trung điếm $MN\Rightarrow I=\left ( { \frac { 5 } { 2 };\frac { 3 } { 2 };\frac { 5 } { 2 } } \right )$ và bán kính mặt cầu
$R_{ S } =\frac { MN } { 2 }=\frac { \sqrt { (3-2) ^ { 2 } +(2-1) ^ { 2 } +(2-3) ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt { 3 } } { 2 } \\ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} a=\frac { 5 } { 2 } \\ b=\frac { 3 } { 2 }{ \rm{ v } }{ \rm{ à } }R_{ S } =\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }=\sqrt { a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } -d }\Leftrightarrow \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }=\sqrt { \left ( { \frac { 5 } { 3 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 3 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { 5 } { 2 } } \right ) ^ { 2 } -d } \\ c=\frac { 5 } { 2 } \\ \end{array} \Leftrightarrow d=14. \end{array} \right.$.