Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(4;1;2),B(1;4;2),C(1;1;5)$ và đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x-2y-4z-3=0$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-7=0$. Biết rằng có 3 điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $MA+MB+MC$ lớn nhất. Tổng các hoành độ của 3 điểm $M$ này bằng
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -2x-2y-4z-3=0$ có tâm $I(1;1;2)$, bán kính $R=3$
Ta có: $A,B,C$ thuộc cả mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$ nên $A,B,C\in (C)=(P)\cap(S)$.
Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng $(P)$, cho tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $(C)$.
Tìm $M$ thuộc $(C)$ sao cho $MA+MB+MC$ lớn nhất
Không giảm tổng quát, giả sử $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, lấy điểm $E$ trên đoạn thẳng $AM$ sao cho $BE=BM$.
Vì $\widehat { AMB }= \widehat { ACB }=60 ^ { ° } \Rightarrow \Delta BME$ đều, suy ra $BM=ME(1)$
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CBM$ có $\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BE=BM \\ \widehat { BAM }= \widehat { BCM } \\ \widehat { ABE }= \widehat { CBM }\left ( { + \widehat { CBE }=60 ^ { ° } } \right ) \\ \end{array} \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BE=BM \\ \widehat { BAM }= \widehat { BCM }\Rightarrow \Delta ABE=\Delta CBM \\ \widehat { AEB }= \widehat { CMB } \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Suy ra $CM=AE(2)$.
Do đó $MA+MB+MC\mathop { = } MA+ME+EA=2MA\leq 4R$. Vậy $MA+MB+MC$ lớn nhất khi $M\equiv M_{ 1 }$ là điểm đối xứng với $A$ qua tâm $H$ của đường tròn $(C)$.
Tương tự $M$ thuộc cung nhỏ $CA$ thì $MA+MB+MC$ lớn nhất khi $M\equiv M_{ 2 }$ là điểm đối xứng với $B$ qua tâm $H$ của đường tròn $(C).M$ thuộc cung nhỏ $AB$ thì $MA+MB+MC$ lớn nhất khi $M\equiv M_{ 3 }$ là điểm đối xứng với $C$ qua tâm $H$ của đường tròn $(C)$.
Khi đó $x_{ M_{ 1 } } +x_{ M_{ 2 } } +x_{ M_{ 3 } } =3x_{ H } =x_{ A } +x_{ B } +x_{ C } =6$.
