Bài tập nâng cao · Bài 44
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 44
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu
$(S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -6x-4y-2z-11=0$ và điểm $M(0;-2;1)$. Gọi $d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 }$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm $M$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Thể tích của tứ diện $MABC$ đạt giá trị lớn nhất bằng?
$(S):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } -6x-4y-2z-11=0$ và điểm $M(0;-2;1)$. Gọi $d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 }$ là ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng cùng đi qua điểm $M$ và lần lượt cắt mặt cầu $(S)$ tại điểm thứ hai là $A,B,C$. Thể tích của tứ diện $MABC$ đạt giá trị lớn nhất bằng?
Xem lời giải
Lời giải
Theo đề bài thì mặt cầu $(S)$ có tâm $I=(3;2;1)$ và bán kính $R=\sqrt { 3 ^ { 2 } +2 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } -(-11) }=5$
$\overrightarrow{MI}=(3;4;0)\Rightarrow MI=\sqrt { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=5=R\Rightarrow M$ nằm trên mặt cầu $(S)$.
Đặt $CH=r\quad (0 < r\leq 5)\Rightarrow CK=\frac { 3 } { 2 }r\Rightarrow AB=\frac { 3 } { 2 }r\cdot \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }=r\sqrt { 3 }\Rightarrow S_{ ABC } =(r\sqrt { 3 }) ^ { 2 } \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt { 3 } } { 4 }r ^ { 2 }$ Tam giác $CHI$ vuông tại $H\Rightarrow IH=\sqrt { CI ^ { 2 } -CH ^ { 2 } }=\sqrt { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } }=\sqrt { 25-r ^ { 2 } }$
$\Rightarrow MH=IH+IM=IH+R=5+\sqrt { 25-r ^ { 2 } } \\ \Rightarrow V_{ MABC } =\frac { 1 } { 3 }MHS_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 5+\sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \right )\cdot \frac { 3\sqrt { 3 } } { 4 }r ^ { 2 } =\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\left ( { 5r ^ { 2 } +r ^ { 2 } \sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \right )g\left ( { r } \right )︸=\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\cdot g(r)$
Vậy $V_{ MABC }$ đạt max khi $g(r)_{ max }$
Khảo sát hàm $g(r)=5r ^ { 2 } +r ^ { 2 } \sqrt { 25-r ^ { 2 } }$
TXĐ $:r\in (0;5]$
$g'(r)=10r+2r\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \\ g'(r)=0\Leftrightarrow 10r+2r\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} r=0(L) \\ 10+2\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 2 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\,(*) \\ \\ \end{array} \right. \\ (*)\Leftrightarrow \frac { 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }+2\left ( { 25-r ^ { 2 } } \right )-r ^ { 2 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\Leftrightarrow 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }+2\left ( { 25-r ^ { 2 } } \right )-r ^ { 2 } =0 \\ \Leftrightarrow 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }=3r ^ { 2 } -50\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 50-3r ^ { 2 } \geq 0 \\ 100(25-r ^ { 2 } )=2500-300r ^ { 2 } +9r ^ { 4 } \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} r=0(L) \\ r=\frac { 10\sqrt { 2 } } { 3 }(N) \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Dựa vào BBT thì $g(r)_{ max } =\frac { 4000 } { 27 }\Leftrightarrow maxV_{ MABC } =\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\cdot \frac { 4000 } { 27 }=\frac { 1000\sqrt { 3 } } { 27 }$.
$\overrightarrow{MI}=(3;4;0)\Rightarrow MI=\sqrt { 3 ^ { 2 } +4 ^ { 2 } }=5=R\Rightarrow M$ nằm trên mặt cầu $(S)$.
Đặt $CH=r\quad (0 < r\leq 5)\Rightarrow CK=\frac { 3 } { 2 }r\Rightarrow AB=\frac { 3 } { 2 }r\cdot \frac { 2 } { \sqrt { 3 } }=r\sqrt { 3 }\Rightarrow S_{ ABC } =(r\sqrt { 3 }) ^ { 2 } \frac { \sqrt { 3 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt { 3 } } { 4 }r ^ { 2 }$ Tam giác $CHI$ vuông tại $H\Rightarrow IH=\sqrt { CI ^ { 2 } -CH ^ { 2 } }=\sqrt { R ^ { 2 } -r ^ { 2 } }=\sqrt { 25-r ^ { 2 } }$
$\Rightarrow MH=IH+IM=IH+R=5+\sqrt { 25-r ^ { 2 } } \\ \Rightarrow V_{ MABC } =\frac { 1 } { 3 }MHS_{ ABC } =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 5+\sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \right )\cdot \frac { 3\sqrt { 3 } } { 4 }r ^ { 2 } =\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\left ( { 5r ^ { 2 } +r ^ { 2 } \sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \right )g\left ( { r } \right )︸=\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\cdot g(r)$
Vậy $V_{ MABC }$ đạt max khi $g(r)_{ max }$
Khảo sát hàm $g(r)=5r ^ { 2 } +r ^ { 2 } \sqrt { 25-r ^ { 2 } }$
TXĐ $:r\in (0;5]$
$g'(r)=10r+2r\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } } \\ g'(r)=0\Leftrightarrow 10r+2r\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 3 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} r=0(L) \\ 10+2\sqrt { 25-r ^ { 2 } }-\frac { r ^ { 2 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\,(*) \\ \\ \end{array} \right. \\ (*)\Leftrightarrow \frac { 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }+2\left ( { 25-r ^ { 2 } } \right )-r ^ { 2 } } { \sqrt { 25-r ^ { 2 } } }=0\Leftrightarrow 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }+2\left ( { 25-r ^ { 2 } } \right )-r ^ { 2 } =0 \\ \Leftrightarrow 10\sqrt { 25-r ^ { 2 } }=3r ^ { 2 } -50\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 50-3r ^ { 2 } \geq 0 \\ 100(25-r ^ { 2 } )=2500-300r ^ { 2 } +9r ^ { 4 } \\ \end{array} \Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} r=0(L) \\ r=\frac { 10\sqrt { 2 } } { 3 }(N) \\ \end{array} \end{array} \right. \end{array} \right.$
Dựa vào BBT thì $g(r)_{ max } =\frac { 4000 } { 27 }\Leftrightarrow maxV_{ MABC } =\frac { \sqrt { 3 } } { 4 }\cdot \frac { 4000 } { 27 }=\frac { 1000\sqrt { 3 } } { 27 }$.