Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1) ^ { 2 } +(y+2) ^ { 2 } +(z-3) ^ { 2 } =27$, Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(0;0;-4),B(2;0;0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón đỉnh là tâm của $(S)$ và đáy là $(C)$ có thể tích lớn nhất. Biết phương trình của $(\alpha )$ có dạng $ax+by-z+c=0,(a,b,c\in \mathbb{R})$. Giá trị của $a-b+c$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-2;3)$ và bán kính $R=3\sqrt { 3 }$.
Điểm $A(0;0;-4)\in (\alpha )\Rightarrow 4+c=0\Rightarrow c=-4$.
Điểm $B(2;0;0)\in (\alpha )\Rightarrow 2a+c=0\Rightarrow a=-\frac { c } { 2 }=2$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ có dạng $2x+by-z-4=0$.
Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(\alpha )$ và $r$ là bán kính của đường tròn $(C)$.
Khi đó khối nón có đỉnh $I$ và đáy là đường tròn $(C)$ có thể tích là:
$V=\frac { 1 } { 3 }\pi r ^ { 2 } d=\frac { 1 } { 3 }\pi \left ( { R ^ { 2 } -d ^ { 2 } } \right )d=\frac { 1 } { 3 }\pi \left ( { 27-d ^ { 2 } } \right )d$
Đặt $f(d)=\left ( { 27-d ^ { 2 } } \right )d=-d ^ { 3 } +27d,(0 < d < 3\sqrt { 3 })$.
Suy ra $f'(d)=-3d ^ { 2 } +27$ và $f'(d)=0\Leftrightarrow -3d ^ { 2 } +27=0\Leftrightarrow d=3$ (vì $0 < d < 3\sqrt { 3 })$.
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $f(d)$ đạt giá trị lớn nhất khi $d=3$ hay thể tích khối nón đạt giá trị lớn nhất khi $d=3\Leftrightarrow d ^ { 2 } =9$.
Mà $d=d(I,(\alpha ))=\frac { \|-5-2b\| } { \sqrt { 5+b ^ { 2 } } }$ nên $\frac { (-5-2b) ^ { 2 } } { 5+b ^ { 2 } }=9\Leftrightarrow 5b ^ { 2 } -20b+20=0\Leftrightarrow b=2$.
Vậy $a-b+c=-4$.
