Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 46

Gọi $M\left ( { \frac { 3 } { 2 };3;0 } \right )$ là trung điểm của đoạn $OB$.
Ta có $V_{ \left ( { M,\frac { 1 } { 3 } } \right ) } (S)=G$, vì $S$ thuộc trục $Oz$ nên tập hợp điểm $G$ thuộc đường thẳng $\Delta$ là ảnh của trục $Oz$ qua phép vị tự tâm $M$, tỉ số $k=\frac { 1 } { 3 }$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $K(1;2;0)=V_{ \left ( { M-\frac { 1 } { 3 } } \right ) } (O)$ và song song với trục $Oz$.
Khi điểm $S$ thay đổi thuộc trục $Oz$ thì đường thẳng $AG$ thuộc mặt phẳng $(A,\Delta ):2x-3y+4=0$.
Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên đường thẳng $AG$ nên $OH\perp HA$, khi đó tập hợp điểm $H$ thuộc đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S)$ có đường kính $OA$ và mặt phẳng $(A,\Delta )$
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;2;0)$, bán kính $R=2\sqrt { 2 }$, có $h=d(I,(A,Oz))=\frac { 4 } { \sqrt { 13 } }$.
Khi đó đường tròn $(C)$ có bán kính $r=\sqrt { R ^ { 2 } -h ^ { 2 } }=2\sqrt { \frac { 22 } { 13 } }\in \left ( { \frac { 5 } { 2 };3 } \right )$.