Bài tập nâng cao · Bài 47
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 47
Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(6;6;0),B(6;0;6),C(0;6;6)$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O$, vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ sao cho $(P)$ cắt các đoạn $AB,AC$ tại các điểm $M,N$ thỏa mãn thể tích tứ diện $OAMN$ nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm nào sau đây?
Xem lời giải
Lời giải
$\overrightarrow{AB}=(0;-6;6)$ chọn véc tơ chỉ phương của $AB$ là $\overset\rightarrow { u_{ 1 } }=(0;-1;1)\Rightarrow AB$ là
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6 \\ y=6-m \\ z=m \\ \end{array} \Rightarrow M(6;6-m;m)\in AB \end{array} \right.$
Do $M$ nằm trên đoạn $AB$ nên $m\in [0;6]$
$\overrightarrow{AC}=(-6;0;6)$ chọn véc tơ chỉ phương của $AC$ là $\overset\rightarrow { u_{ 1 } }=(-1;0;1)\Rightarrow AC$ là
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6-n \\ y=6 \\ z=n \\ \end{array} \Rightarrow N(6-n;6;n)\in AC \end{array} \right.$
Do $N$ nằm trên đoạn $AC$ nên $n\in [0;6]$.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $n=\left[ \overset\rightarrow { u_{ 2 } },\overset\rightarrow { u_{ 1 } } \right]=(1;1;1)$
$\overrightarrow{OA}=(6;6;0),\overrightarrow{OM}=(6;6-m;m),\overrightarrow{ON}=(6-n;6;n). \\ \Rightarrow [\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}]=(6n-6m-mn;6m-mn-6n;6n+6m-mn){ \rm{ l } }{ \rm{ à } }{ \rm{ v } }{ \rm{ t } }{ \rm{ p } }{ \rm{ t } }(P) \\ (P)\perp(ABC)\Rightarrow (6n-6m-mn)+(6m-mn-6n)+(6n+6m-mn)=6(n+m)-3mn=0 \\ \Leftrightarrow mn=2(m+n)\geq 4\sqrt { mn }\Leftrightarrow mn\geq 16 \\ V=\frac { 1 } { 6 }\|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}]\cdot \overrightarrow{ON}\|=2mn\geq 32.$
Dấu bằng xảy ra khi $m=n=4$.
Vì $\overset\rightarrow { n_{ (P) } }=(-16;-16;32)2).$
Phương trình $(P)$ là $-x-y+2z=0$. Suy ra $(P)$ đi qua $D(1;3;2)$
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6 \\ y=6-m \\ z=m \\ \end{array} \Rightarrow M(6;6-m;m)\in AB \end{array} \right.$
Do $M$ nằm trên đoạn $AB$ nên $m\in [0;6]$
$\overrightarrow{AC}=(-6;0;6)$ chọn véc tơ chỉ phương của $AC$ là $\overset\rightarrow { u_{ 1 } }=(-1;0;1)\Rightarrow AC$ là
$\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=6-n \\ y=6 \\ z=n \\ \end{array} \Rightarrow N(6-n;6;n)\in AC \end{array} \right.$
Do $N$ nằm trên đoạn $AC$ nên $n\in [0;6]$.
Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $n=\left[ \overset\rightarrow { u_{ 2 } },\overset\rightarrow { u_{ 1 } } \right]=(1;1;1)$
$\overrightarrow{OA}=(6;6;0),\overrightarrow{OM}=(6;6-m;m),\overrightarrow{ON}=(6-n;6;n). \\ \Rightarrow [\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}]=(6n-6m-mn;6m-mn-6n;6n+6m-mn){ \rm{ l } }{ \rm{ à } }{ \rm{ v } }{ \rm{ t } }{ \rm{ p } }{ \rm{ t } }(P) \\ (P)\perp(ABC)\Rightarrow (6n-6m-mn)+(6m-mn-6n)+(6n+6m-mn)=6(n+m)-3mn=0 \\ \Leftrightarrow mn=2(m+n)\geq 4\sqrt { mn }\Leftrightarrow mn\geq 16 \\ V=\frac { 1 } { 6 }\|[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM}]\cdot \overrightarrow{ON}\|=2mn\geq 32.$
Dấu bằng xảy ra khi $m=n=4$.
Vì $\overset\rightarrow { n_{ (P) } }=(-16;-16;32)2).$
Phương trình $(P)$ là $-x-y+2z=0$. Suy ra $(P)$ đi qua $D(1;3;2)$