Bài tập nâng cao · Bài 48
Bài tập nâng cao Phương trình mặt cầu · Bài 48
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+3) ^ { 2 } +(y-2) ^ { 2 } +(z-2) ^ { 2 } =27$. Gọi mặt phẳng $(P):ax+by+2z+c=0$ đi qua hai điểm $A(0;0;-2),B(-4;0;0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón đỉnh là tâm của $(S)$ và đáy là $(C)$ có thể tích lớn nhất. Khi đó $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 }$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-3;2;2)$, bán kính $R=3\sqrt { 3 }$.
Đặt $x=d_{ (I;(P)) } ,(0 < x < 3\sqrt { 3 })\Rightarrow r ^ { 2 } =27-x ^ { 2 }$ với $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến.
Thể tích khối nón là $V=\frac { 1 } { 3 }\pi r ^ { 2 } h=\frac { 1 } { 3 }\pi \left ( { 27-x ^ { 2 } } \right )x$. Từ đó suy ra $V_{ max }$ khi $x=3$.
(xét hàm $f(x)=x\left ( { 27-x ^ { 2 } } \right )$ trên khoảng $(0,3\sqrt { 3 })$.
Ta có: $A\in (P)\Rightarrow c=4,B\in (P)\Rightarrow a=1$ và $d_{ (I,;(P)) } =\frac { \|-3+2b+4+4\| } { \sqrt { 1 ^ { 2 } +b ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=3\Rightarrow b=2$.
Vậy $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =21$.
Đặt $x=d_{ (I;(P)) } ,(0 < x < 3\sqrt { 3 })\Rightarrow r ^ { 2 } =27-x ^ { 2 }$ với $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến.
Thể tích khối nón là $V=\frac { 1 } { 3 }\pi r ^ { 2 } h=\frac { 1 } { 3 }\pi \left ( { 27-x ^ { 2 } } \right )x$. Từ đó suy ra $V_{ max }$ khi $x=3$.
(xét hàm $f(x)=x\left ( { 27-x ^ { 2 } } \right )$ trên khoảng $(0,3\sqrt { 3 })$.
Ta có: $A\in (P)\Rightarrow c=4,B\in (P)\Rightarrow a=1$ và $d_{ (I,;(P)) } =\frac { \|-3+2b+4+4\| } { \sqrt { 1 ^ { 2 } +b ^ { 2 } +2 ^ { 2 } } }=3\Rightarrow b=2$.
Vậy $a ^ { 2 } +b ^ { 2 } +c ^ { 2 } =21$.